《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

8. (2024·河北)甲、乙、丙三张卡片正面分别写有$a+b,2a+b,a-b$,除正面的代数式不同外,其余均相同.
(1)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,当$a=1,b=-2$时,求取出的卡片上代数式的值为负数的概率;
(2)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,放回后重新洗匀,再随机抽取一张.请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果(化为最简),并求出和为单项式的概率.
| | 第一次 | | |
| --- | --- | --- | --- |
| 和 | $a + b$ | $2a + b$ | $a - b$ |
| 第二次 | | | |
| $a + b$ | $2a + 2b$ | | $2a$ |
| $2a + b$ | | | |
| $a - b$ | $2a$ | | |

答案：

(1) 当$a = 1$，$b = - 2$时，$a + b = - 1$，$2a + b = 0$，$a - b = 3$．从三张卡片中随机抽取一张，共有 3 种等可能的结果，其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有 1 种，
∴ 取出的卡片上代数式的值为负数的概率为$\frac{1}{3}$．
(2) 补全表格如下:

共有 9 种等可能的结果，其中和为单项式的结果有：$2a$，$3a$，$2a$，$3a$，共 4 种，
∴ 和为单项式的概率为$\frac{4}{9}$．

9. (2024·青岛)学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演,每班选派一名志愿者.九年级一班的小明和小红都想参加,于是两人决定一起做“摸牌”游戏,获胜者参加.规则如下:将牌面数字分别为1,2,3的三张纸牌(除牌面数字外,其余都相同)背面朝上,洗匀后放在桌面上,小明先从中随机摸出一张,记下数字后放回并洗匀,小红再从中随机摸出一张.若两次摸到的数字之和大于4,则小明胜;若和小于4,则小红胜;若和等于4,则重复上述过程.
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张,摸到“1”的概率是______;
(2)请用列表或画树状图的方法,说明这个游戏对双方是否公平.

答案：

(1)$\frac{1}{3}$
(2) 游戏公平，理由如下：根据题意列表如下：

由表可知：共有 9 种等可能的情况数，其中两次摸到的数字之和大于 4 的有 3 种，两次摸到的数字之和小于 4 的有 3 种，
∴ 小明获胜的概率是$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，小红获胜的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
∴ 两人获胜的概率相等，
∴ 游戏公平．

10. (2023·广州)甲、乙两位同学相约打乒乓球.
(1)有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为A,B,C,D),若甲先从中随机选取1个,乙再从余下的球拍中随机选取1个,求乙选中球拍C的概率;
(2)双方约定:两人各投掷一枚质地均匀的硬币,如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上,那么甲先发球,否则乙先发球.这个约定是否公平? 为什么?

答案：

(1) 画树状图如下：

一共有 12 种等可能的结果，其中乙选中球拍$C$有 3 种可能的结果，
∴$P$(乙选中球拍$C$)$=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$；
(2) 公平．理由如下：画树状图如下：

一共有 4 种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有 2 种可能的结果，
∴$P$(甲先发球)$=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$P$(乙先发球)$=\frac{4 - 2}{4}=\frac{1}{2}$，
∵$P$(甲先发球)$= P$(乙先发球)，
∴ 这个约定公平．