《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

7. 已知一个三角形的三边长分别为 5,7,8,则其内切圆的半径为 (C)
A. $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$
B. $\frac { 3 } { 2 }$
C. $\sqrt { 3 }$
D. $2 \sqrt { 3 }$

答案： C

8. 如图,$\triangle ABC$内心为 I,连接 AI 并延长交$\triangle ABC$的外接圆于 D,则线段 DI 与 DB 的关系是 (A)

A. $DI=DB$
B. $DI＞DB$
C. $DI＜DB$
D. 不确定

答案： A

9. (2023·广元)如图,$∠ACB=45^{\circ }$,半径为 2 的$\odot O$与角的两边相切,点 P 是$\odot O$上任意一点,过点 P 向角的两边作垂线,垂足分别为 E,F,设$t=PE+\sqrt { 2 } P F$,则 t 的取值范围是2$\sqrt{2}$ ≤ t ≤ 4 + 2$\sqrt{2}$.

答案： 2$\sqrt{2}$ ≤ t ≤ 4 + 2$\sqrt{2}$

10. 如图,点 E 是$\triangle ABC$的内心,AE 的延长线和$\triangle ABC$的外接圆相交于点 D.
(1) 求证:$BD=DE$;
(2) 连接 OD 交 BC 于点 G,若$OD⊥BC,DG=2,BC=10$,求圆的半径.

答案：

(1) 如图，连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE = ∠CBE，∠BAD = ∠DAC。
∵∠CAD = ∠CBD，
∴∠BAD = ∠DBC，
∴∠DBE = ∠DBC + ∠EBC。
∵∠DEB = ∠ABE + ∠BAD，
∴∠DBE = ∠DEB，
∴BD = DE;
(2) 连接OD，OB，由
(1)可知，∠BAD = ∠DAC，
∴$\overparen{BD}$ = $\overparen{CD}$，
∴OD垂直平分BC，
∴BG = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×10 = 5，设OD = OB = x，则OG = x - DG = x - 2，在Rt△OBG中，由勾股定理可得：OG² + BG² = OB²，
∴(x - 2)² + 5² = x²，解得x = $\frac{29}{4}$，
∴圆的半径为 $\frac{29}{4}$。

11. (2024·亭湖区期中)【习题再现】
(教材 P74 第 10 题)如图 1,I 是$\triangle ABC$的内心,AI 的延长线交$\triangle ABC$的外接圆于点 D. BD 和 ID 相等吗? 为什么? (不需解答,请看下面的问题)
【逆向思考】
(1) 如图 1,I 为$\triangle ABC$内一点,AI 的延长线交$\triangle ABC$的外接圆于点 D. 若$DB=DI=DC$,求证:I 为$\triangle ABC$的内心;
【拓展提高】
(2) 如图 2,$\odot O$的半径长为 5,弦$BC=8$,动点 A 在优弧$\overparen { B A C }$上(不与 B,C 重合),I 是$\triangle ABC$的内心.
① 点 I 到$\odot O$上某点的距离始终不变,请用无刻度的直尺找出该点;
② AI 的最大值的______.

答案：

(1) 如图1，连接IB，
∵DB = DI = DC，
∴∠DBI = ∠DIB，$\overparen{DB}$ = $\overparen{DC}$，
∴∠DAB = ∠DAC。
∵∠DBC = ∠DAC，
∴∠DBC = ∠DAB。
∵∠DBI = ∠IBC + ∠DBC，∠DIB = ∠IBA + ∠DAB，
∴∠IBC + ∠DBC = ∠IBA + ∠DAB，
∴∠IBC = ∠IBA，
∴点I是△ABC中∠BAC的平分线与∠ABC的平分线的交点，
∴I为△ABC的内心。
(2) ①如图2，延长AI交⊙O于点M，点M就是所求的点。理由：连接BI，BM，CM，
∵I是△ABC的内心，
∴∠MAB = ∠MAC，∠IBC = ∠IBA，
∴$\overparen{MB}$ = $\overparen{MC}$，
∴M为$\overparen{BC}$的中点，
∴MB的长为定值。
∵∠MBC = ∠MAC，
∴∠MBC = ∠MAB，
∴∠MBI = ∠MBC + ∠IBC = ∠MAB + ∠IBA = ∠MIB，
∴MI = MB，
∴点I到⊙O上的点M的距离始终不变，
∴点M就是所求的点。
② 10 - 2$\sqrt{5}$。