《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

18. 在$\triangle ABC$中，若$AB=6$，$\angle ACB=45^{\circ}$。则$\triangle ABC$的面积的最大值为$9\sqrt{2}+9$。

答案： $9\sqrt{2}+9$

19. 如图，$PA$，$PB$是$\odot O$的切线，$A$，$B$为切点，$AC$是直径。
(1) 求证：$\angle P=2\angle CAB$；
证明：如图，连接OP，∵PA，PB是$\odot O$的切线，∴$∠APB=2∠APO$，$∠OAP=90^{\circ}$，∴$∠CAB+∠BAP=90^{\circ}$。∵PA=PB，$∠APO=∠BPO$，∴$OP⊥AB$，∴$∠APO+∠BAP=90^{\circ}$，∴$∠APO=∠CAB$，∴$∠P=2∠CAB$；
(2) 当点$D$在劣弧$AB$上时，连接$AD$，$BD$，直接写出$\angle D$和$\angle CAB$之间的关系。
$\angle D=90^{\circ}+\angle CAB$

答案：
(1) 如图，连接OP，
∵PA，PB是$\odot O$的切线，
∴$∠APB=2∠APO$，$∠OAP=90^{\circ}$，
∴$∠CAB+∠BAP=90^{\circ}$。
∵PA=PB，$∠APO=∠BPO$，
∴$OP⊥AB$，
∴$∠APO+∠BAP=90^{\circ}$，
∴$∠APO=∠CAB$，
∴$∠P=2∠CAB$；
(2) 连接BC，
∵四边形ACBD内接于$\odot O$，
∴$∠ACB+∠D=180^{\circ}$。
∵AC是直径，
∴$∠ABC=90^{\circ}$，
∴$∠CAB+∠ACB=90^{\circ}$，
∴$∠D=180^{\circ}-∠ACB=90^{\circ}+∠CAB$。

20. (2023·江西)如图，在$\triangle ABC$中，$AB=4$，$\angle C=64^{\circ}$，以$AB$为直径的$\odot O$与$AC$相交于点$D$，$E$为$\overset{\frown}{ABD}$上一点，且$\angle ADE=40^{\circ}$。
(1) 求$\overset{\frown}{BE}$的长；$\frac{10\pi}{9}$
(2) 若$\angle EAD=76^{\circ}$，求证：$CB$为$\odot O$的切线。
证明：∵$∠EAB=\frac{1}{2}∠EOB=50^{\circ}$，∴$∠BAC=∠EAD-∠EAB=76^{\circ}-50^{\circ}=26^{\circ}$。∵$∠C=64^{\circ}$，∴$∠C+∠BAC=90^{\circ}$，∴$∠ABC=180^{\circ}-(∠C+∠BAC)=90^{\circ}$，∴直径$AB⊥BC$，∴CB为$\odot O$的切线。

答案：
(1) 如图，连接OE，
∵$∠ADE=40^{\circ}$，
∴$∠AOE=2∠ADE=80^{\circ}$，
∴$∠EOB=180^{\circ}-∠AOE=100^{\circ}$。
∵AB=4，
∴$\odot O$半径长是2，
∴$\overparen{BE}$的长=$\frac{100\pi\times2}{180}=\frac{10\pi}{9}$；
(2)
∵$∠EAB=\frac{1}{2}∠EOB=50^{\circ}$，
∴$∠BAC=∠EAD-∠EAB=76^{\circ}-50^{\circ}=26^{\circ}$。
∵$∠C=64^{\circ}$，
∴$∠C+∠BAC=90^{\circ}$，
∴$∠ABC=180^{\circ}-(∠C+∠BAC)=90^{\circ}$，
∴直径$AB⊥BC$，
∴CB为$\odot O$的切线。

21. (2023·襄阳)如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$O$是$BC$的中点，$\odot O$与$AB$相切于点$D$，与$BC$交于点$E$，$F$，$DG$是$\odot O$的直径，弦$GF$的延长线交$AC$于点$H$，且$GH\perp AC$。
(1) 求证：$AC$是$\odot O$的切线；
(2) 若$DE=2$，$GH=3$，求$\overset{\frown}{DE}$的长$l$。

(1) 连接OA，过点O作$OM⊥AC$于点M，如图，∵AB=AC，点O是BC的中点，∴AO为$∠BAC$的平分线。∵$\odot O$与AB相切于点D，DG是$\odot O$的直径，∴OD为$\odot O$的半径，∴$OD⊥AB$，又$OM⊥AC$，∴OM=OD，即OM为$\odot O$的半径，∴AC是$\odot O$的切线；
(2) 过点E作$EN⊥AB$于点N，如图，∵点O为$\odot O$的圆心，∴OD=OG，OE=OF，在$\triangle ODE$和$\triangle OGF$中，$\begin{cases}OD=OG,\\∠DOE=∠GOF,\\OE=OF,\end{cases}$ ∴$\triangle ODE≌\triangle OGF(SAS)$，∴DE=GF。∵DE=2，GH=3，∴GF=2，∴FH=GH-GF=3-2=1。∵AB=AC，点O是BC的中点，∴OB=OC，$∠B=∠C$，又OE=OF，∴BE=CF。∵$GH⊥AC$，$EN⊥AB$，∴$∠BNE=∠CHF=90^{\circ}$，在$\triangle BNE$和$\triangle CHF$中，$\begin{cases}∠BNE=∠CHF=90^{\circ},\\∠B=∠C,\\BE=CF,\end{cases}$ ∴$\triangle BNE≌\triangle CHF(AAS)$，∴EN=FH=1，在Rt$\triangle DEN$中，DE=2，EN=1，∴$∠EDN=30^{\circ}$，由(1)可知：$OD⊥AB$，∴$∠ODE=90^{\circ}-∠EDN=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$，又OD=OE，∴$\triangle ODE$为等边三角形，∴$∠DOE=60^{\circ}$，OD=OE=DE=2，∴$\overparen{DE}$的长$l=$$\frac{2\pi}{3}$。

答案：
(1) 连接OA，过点O作$OM⊥AC$于点M，如图，
∵AB=AC，点O是BC的中点，
∴AO为$∠BAC$的平分线。
∵$\odot O$与AB相切于点D，DG是$\odot O$的直径，
∴OD为$\odot O$的半径，
∴$OD⊥AB$，又$OM⊥AC$，
∴OM=OD，即OM为$\odot O$的半径，
∴AC是$\odot O$的切线；
(2) 过点E作$EN⊥AB$于点N，如图，
∵点O为$\odot O$的圆心，
∴OD=OG，OE=OF，在$\triangle ODE$和$\triangle OGF$中，$\begin{cases}OD=OG,\\∠DOE=∠GOF,\\OE=OF,\end{cases}$
∴$\triangle ODE≌\triangle OGF(SAS)$，
∴DE=GF。
∵DE=2，GH=3，
∴GF=2，
∴FH=GH-GF=3-2=1。
∵AB=AC，点O是BC的中点，
∴OB=OC，$∠B=∠C$，又OE=OF，
∴BE=CF。
∵$GH⊥AC$，$EN⊥AB$，
∴$∠BNE=∠CHF=90^{\circ}$，在$\triangle BNE$和$\triangle CHF$中，$\begin{cases}∠BNE=∠CHF=90^{\circ},\\∠B=∠C,\\BE=CF,\end{cases}$
∴$\triangle BNE≌\triangle CHF(AAS)$，
∴EN=FH=1，在Rt$\triangle DEN$中，DE=2，EN=1，
∴$∠EDN=30^{\circ}$，由
(1)可知：$OD⊥AB$，
∴$∠ODE=90^{\circ}-∠EDN=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$，又OD=OE，
∴$\triangle ODE$为等边三角形，
∴$∠DOE=60^{\circ}$，OD=OE=DE=2，
∴$\overparen{DE}$的长$l=\frac{60\pi\times2}{180}=\frac{2\pi}{3}$。