《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

12. (2023·遂宁)我们规定:对于任意实数$a,b,c,d$有$[a,b]*[c,d]=ac-bd$,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如:$[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13$.
(1) 求$[-4,3]*[2,-6]$的值为10；
(2) 已知关于$x$的方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$有两个实数根,求$m$的取值范围是$m≤\frac {1}{4}$且$m≠0$.

答案：
(1) $[-4,3]*[2,-6]=-4×2-3×(-6)=10$；
(2) 根据题意得 $x(mx+1)-m(2x-1)=0$，整理得 $mx^{2}+(1-2m)x+m=0$，
∵ 关于 $x$ 的方程 $[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$ 有两个实数根，
∴ $\Delta =(1-2m)^{2}-4m\cdot m≥0$ 且 $m≠0$，解得 $m≤\frac {1}{4}$ 且 $m≠0$。

13. 我们知道方程$x^{2}+2x-3=0$的解是$x_{1}=1,x_{2}=-3$,现给出另一个方程$(2x+3)^{2}+2(2x+3)-3=0$,它的解是 (D)
A. $x_{1}=1,x_{2}=3$
B. $x_{1}=1,x_{2}=-3$
C. $x_{1}=-1,x_{2}=3$
D. $x_{1}=-1,x_{2}=-3$

答案： D

14. (2023·鄂州)若实数$a,b$分别满足$a^{2}-3a+2=0,b^{2}-3b+2=0$,且$a≠b$,则$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}=$$\frac {3}{2}$.

答案： $\frac {3}{2}$

15. (2023·南充)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2m-1)x-3m^{2}+m=0$.
(1) 求证:无论$m$为何值,方程总有实数根;
证明：∵ $\Delta =[-(2m-1)]^{2}-4×1×(-3m^{2}+m)=4m^{2}-4m+1+12m^{2}-4m=16m^{2}-8m+1=(4m-1)^{2}≥0$，∴ 方程总有实数根；
(2) 若$x_{1},x_{2}$是方程的两个实数根,且$\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}=-\frac {5}{2}$,求$m$的值.
解：由题意知，$x_{1}+x_{2}=2m-1$，$x_{1}x_{2}=-3m^{2}+m$，∵ $\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}=\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac {(x_{1}+x_{2})^{2}}{x_{1}x_{2}}-2=-\frac {5}{2}$，∴ $\frac {(2m-1)^{2}}{-3m^{2}+m}-2=-\frac {5}{2}$，整理得 $5m^{2}-7m+2=0$，解得 $m=$1或 $m=$$\frac{2}{5}$。

答案：
(1)
∵ $\Delta =[-(2m-1)]^{2}-4×1×(-3m^{2}+m)=4m^{2}-4m+1+12m^{2}-4m=16m^{2}-8m+1=(4m-1)^{2}≥0$，
∴ 方程总有实数根；
(2) 由题意知，$x_{1}+x_{2}=2m-1$，$x_{1}x_{2}=-3m^{2}+m$，
∵ $\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}=\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac {(x_{1}+x_{2})^{2}}{x_{1}x_{2}}-2=-\frac {5}{2}$，
∴ $\frac {(2m-1)^{2}}{-3m^{2}+m}-2=-\frac {5}{2}$，整理得 $5m^{2}-7m+2=0$，解得 $m=1$ 或 $m=\frac {2}{5}$。

16. 关于$x$的方程$x^{2}-(2k-1)x+k^{2}-2k+3=0$有两个不相等的实数根.
(1) 求实数$k$的取值范围;$k＞\frac {11}{4}$
(2) 设方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$,存不存在这样的实数$k$,使得$|x_{1}|-|x_{2}|=\sqrt {5}$? 若存在,求出这样的$k$值;若不存在,说明理由.存在，$k=4$

答案：
(1)
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta =[-(2k-1)]^{2}-4(k^{2}-2k+3)=4k-11＞0$，解得：$k＞\frac {11}{4}$；
(2) 存在，
∵ $x_{1}+x_{2}=2k-1$，$x_{1}x_{2}=k^{2}-2k+3=(k-1)^{2}+2＞0$，
∴ 将 $|x_{1}|-|x_{2}|=\sqrt {5}$ 两边平方可得 $x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=5$，即 $(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=5$，代入得：$(2k-1)^{2}-4(k^{2}-2k+3)=5$，解得：$4k-11=5$，解得：$k=4$。