《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

25. (10分)某小区有一块长$30m$,宽$20m$的矩形空地,如图所示.社区计划在这块空地上建一个小型的停车场,阴影部分设计为停车位,其余部分是等宽的通道,已知停车位占地面积为$416m^{2}$.
(1) 求通道的宽是多少米?
(2) 该停车场共有$65$个车位,据调查发现:当每个车位的日租金为$15$元时,可全部租出;当每个车位的日租金每上涨$1$元时,就会少租出$1$个车位.当每个车位的日租金上涨多少元时,既能优惠大众,又能使对外开放的日租金收入为$1200$元?

(1) 通道的宽是2米.
(2) 当每个车位的日租金上涨5元时,既能优惠大众,又能使对外开放的日租金收入为$1200$元.

答案： 解:
(1) 设通道的宽是 x m，由题意得: $ (30 - 2x)(20 - 2x) = 416 $，整理得 $ x^2 - 25x + 46 = 0 $，解得: $ x_1 = 2 $，$ x_2 = 23 ＞ 20 $ (不合题意舍去)，所以通道的宽是 2 m.
(2) 设每个车位的日租金上涨 y 元，则出租的车位为 $ (65 - y) $ 个，由题意得: $ (15 + y)(65 - y) = 1200 $，解得: $ y_1 = 5 $，$ y_2 = 45 $，因为要优惠大众，所以 $ y_2 = 45 $ 舍去. 所以设每个车位的日租金上涨 5 元，既能优惠大众，又能使对外开放的日租金收入为 1200 元.

26. (12分)在期中复习课里,小晨对九年级数学教材第$52$页习题的第$3$题进行了再研究.
【原题再现】
(1) 如图,在四边形$ABCD$中,$∠A=∠C=90^{\circ }$,经过点$A$,$B$,$D$三点作$\odot O$,点$C$在$\odot O$上吗? 试说明理由.

请你帮他完成后面的解答.
小晨解答如下:
如图1,过$A$,$B$,$D$三点作$\odot O$,连接$AO$,$BO$,$CO$,$DO$.
$\because \odot O$中,$∠BAD=90^{\circ }$,
$\therefore BD$是直径，$\therefore OA=OB=OD$. $\because ∠BCD=90^{\circ }$，$\therefore OC=\frac{1}{2}BD=OB$，$\therefore$点$C$在$\odot O$上
【深入探究】
(2) 小晨在完成此题解答后,他在图1上连接$AC$,得到图2,当$AB=AD$时,他发现$CA$平分$∠BCD$.他的发现正确吗? 试说明理由.
他的发现正确，理由如下: $\because \triangle ABD$中，$∠BAD=90^{\circ }$，$AB=AD$，$\therefore ∠ABD=∠ADB=45^{\circ }$. $\because \odot O$中，$∠ABD=∠ACD$，$∠ADB=∠ACB$，$\therefore ∠ACD=∠ACB$，$\therefore CA$平分$∠BCD$，$\therefore$他的发现正确
(3) 在(2)的条件下,小晨通过测量发现$CD$,$CB$,$CA$这三条线段之间存在着一定的数量关系,经过探究,他得到了结论:$CD+CB=\sqrt {2}CA$,请证明这个结论.
证明: 如图2，延长$CB$至$C'$，使$BC'=CD$，连接$AC'$. $\because$四边形$ABCD$是$\odot O$内接四边形，$\therefore ∠ADC+∠ABC=180^{\circ }$. $\because ∠ABC'+∠ABC=180^{\circ }$，$\therefore ∠ADC=∠ABC'$，又$\because CD=C'B$，$AD=AB$，$\therefore \triangle ADC\cong \triangle ABC'(SAS)$，$\therefore CA=C'A$，$∠DAC=∠BAC'$，$\therefore ∠CAC'=∠CAB+∠BAC'=∠CAB+∠DAC=90^{\circ }$，$\therefore CC'^2=CA^2+C'A^2=2CA^2$，$\therefore CC'=\sqrt{2}CA$. $\because CC'=CB+C'B$，$C'B=CD$，$\therefore CD+CB=\sqrt{2}CA$
【应用实践】
(4) 根据小晨同学的研究,张老师提出一个问题:如图3,$\odot O$内接四边形$ABCD$中,$BD$为$\odot O$的直径,$AB=AD$,作点$C$关于$AD$的对称点$P$,连接$PA$,$PB$,$PD$,若$PD=6$,$PA=5\sqrt {2}$,请直接写出$PB$的长为$2\sqrt{34}$.

答案：
(1) 解: 点 C 在 $ \odot O $ 上，理由如下: 如图 1，过 A，B，D 三点作 $ \odot O $，连接 AO，BO，CO，DO. $ \because \odot O $ 中，$ \angle BAD = 90^\circ $，$\therefore BD $ 是直径，$\therefore OA = OB = OD $. $ \because \angle BCD = 90^\circ $，$\therefore OC = \frac{1}{2}BD = OB $，$\therefore $ 点 C 在 $ \odot O $ 上；
(2) 解: 他的发现正确，理由如下: $ \because \triangle ABD $ 中，$ \angle BAD = 90^\circ $，$ AB = AD $，$\therefore \angle ABD = \angle ADB = 45^\circ $. $ \because \odot O $ 中，$ \angle ABD = \angle ACD $，$ \angle ADB = \angle ACB $，$\therefore \angle ACD = \angle ACB $，$\therefore CA $ 平分 $ \angle BCD $，$\therefore $ 他的发现正确；
(3) 证明: 如图 2，延长 CB 至 $ C' $，使 $ BC' = CD $，连接 $ AC' $. $ \because $ 四边形 ABCD 是 $ \odot O $ 内接四边形，$\therefore \angle ADC + \angle ABC = 180^\circ $. $ \because \angle ABC' + \angle ABC = 180^\circ $，$\therefore \angle ADC = \angle ABC' $，又 $ \because CD = C'B $，$ AD = AB $，$\therefore \triangle ADC \cong \triangle ABC' (SAS) $，$\therefore CA = C'A $，$ \angle DAC = \angle BAC' $，$\therefore \angle CAC' = \angle CAB + \angle BAC' = \angle CAB + \angle DAC = 90^\circ $，$\therefore CC'^2 = CA^2 + C'A^2 = 2CA^2 $，$\therefore CC' = \sqrt{2}CA $. $ \because CC' = CB + C'B $，$ C'B = CD $，$\therefore CD + CB = \sqrt{2}CA $；
(4) 解: 延长 BA 至点 Q，使 $ AQ = AB $，连接 DQ，CQ，如图 3，$ \because $ 点 C 关于 AD 的对称点 P，$\therefore AP = AC = 5\sqrt{2} $，$ CD = PD = 6 $，$ \angle PAD = \angle CAD $，$\therefore \triangle PAB \cong \triangle CAQ (SAS) $，$\therefore PB = CQ $. 由
(3) 的结论可知，$ CD + BC = \sqrt{2}AC $，$\therefore 6 + BC = \sqrt{2} \times 5\sqrt{2} $，$\therefore BC = 4 $. $ \because \angle DAB = \angle DAQ = 90^\circ $，$ AD = AD $，$\therefore \triangle ADQ \cong \triangle ADB (SAS) $，$\therefore \angle DQB = \angle DBQ = 45^\circ $，$ DQ = DB $，$\therefore \angle BDQ = 90^\circ $. 过点 Q 作 $ QE \perp CD $ 交 CD 的延长线于点 E，$ \because \angle EQD + \angle EDQ = 90^\circ $，$ \angle BDC + \angle EDQ = 90^\circ $，$\therefore \angle EQD = \angle BDC $. $ \because \angle QED = \angle BCD = 90^\circ $，$\therefore \triangle QED \cong \triangle DCB (AAS) $，$\therefore QE = CD = 6 $，$\therefore CE = 6 + 4 = 10 $，$\therefore PB = CQ = \sqrt{QE^2 + CE^2} = 2\sqrt{34} $. 故答案为: $ 2\sqrt{34} $.