《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

5. 定义 $ [x] $ 表示不超过实数 $ x $ 的最大整数，如 $ [1.8] = 1 $，$ [-1.4] = -2 $，$ [-3] = -3 $. 函数 $ y = [x] $ 的图像如图所示，则方程 $ [x] = \frac{1}{2}x^2 $ 的解为 (A)

A. 0 或 $ \sqrt{2} $
B. 0 或 2
C. 1 或 $ -\sqrt{2} $
D. $ \sqrt{2} $ 或 $ -\sqrt{2} $

答案： A

6. 已知：$ m^2 - 2m - 1 = 0 $，$ n^2 + 2n - 1 = 0 $ 且 $ mn ≠ 1 $，则 $ \frac{mn + n + 1}{n} $ 的值为3.

答案： 3

7. (2024·绵阳)超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为 500 元. 因销量持续攀升，商家在 3 月份提价 20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在 3 月份售价的基础上，4，5 月份按照相同的降价率 $ r $ 连续降价. 已知 5 月份礼盒的售价为 486 元，则 $ r = $10%.

答案： $10\%$

8. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定. 某头盔经销商统计了某品牌头盔 4 月份到 6 月份的销量，该品牌头盔 4 月份销售 150 个，6 月份销售 216 个，且从 4 月份到 6 月份销售量的月增长率相同.
(1) 求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2) 若此种头盔的进价为 30 元/个，测算在市场中，当售价为 40 元/个时，月销售量为 600 个，若在此基础上售价每上涨 1 元/个，则月销售量将减少 10 个，为使月销售利润达到 10 000 元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？

答案：
(1) 设该品牌头盔销售量的月增长率为 $x$，依题意，得：$150(1 + x)^{2}=216$，解得：$x_{1}=0.2 = 20\%$，$x_{2}=-2.2$（不合题意，舍去）。答：该品牌头盔销售量的月增长率为 $20\%$。
(2) 设该品牌头盔的实际售价为 $y$ 元，依题意，得：$(y - 30)[600 - 10(y - 40)] = 10000$，整理，得：$y^{2}-130y + 4000 = 0$，解得：$y_{1}=80$（不合题意，舍去），$y_{2}=50$，答：该品牌头盔的实际售价应定为 $50$ 元。

9. (2024·淄博)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高. 某市参加健身运动的人数逐年增多，从 2021 年的 32 万人增加到 2023 年的 50 万人.
(1) 求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2) 为支持市民的健身运动，市政府决定从 $ A $ 公司购买某种套装健身器材. 该公司规定：若购买不超过 100 套，每套售价 1 600 元；若超过 100 套，每增加 10 套，售价每套可降低 40 元. 但最低售价不得少于 1 000 元. 已知市政府向该公司支付货款 24 万元，求购买的这种健身器材的套数.

答案：
(1) 设该市参加健身运动人数的年均增长率为 $x$，由题意得：$32(1 + x)^{2}=50$，解得：$x_{1}=0.25 = 25\%$，$x_{2}=-2.25$（不符合题意，舍去），答：该市参加健身运动人数的年均增长率为 $25\%$；
(2) 设购买的这种健身器材的套数为 $m$ 套，
∵ $240000\div1600 = 150$（套），
∴ $m\gt100$，由题意得：$m(1600-\frac{m - 100}{10}\times40)=240000$，整理得：$m^{2}-500m + 60000 = 0$，解得：$m_{1}=200$，$m_{2}=300$，当 $m = 200$ 时，$1600-\frac{m - 100}{10}\times40 = 1600 - 400 = 1200\gt1000$，符合题意；当 $m = 300$ 时，$1600-\frac{m - 100}{10}\times40 = 1600 - 800 = 800\lt1000$，不符合题意，舍去；答：购买的这种健身器材的套数为 $200$ 套。