《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

7. 如图,$∠APB=52^{\circ },PA,PB,DE$都为$\odot O$的切线,切点分别为$A,B,F$,且$PA=6$.求:
(1)$△PDE$的周长;
(2)$∠DOE$的度数.

答案：

(1)
∵ PA，PB，DE 都为⊙O 的切线，
∴ DA = DF，EB = EF，PA = PB = 6，
∴ DE = DA + EB，
∴ PE + PD + DE = PA + PB = 12，即△PDE 的周长为 12；
(2) 如图，连接OF，
∵ PA，PB，DE 分别切⊙O 于 A，B，F 三点，
∴ OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE = ∠FOE = $\frac{1}{2}$∠BOF，∠FOD = ∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOF.
∵ ∠APB = 52°，
∴ ∠AOB = 360° - 90° - 90° - 52° = 128°，
∴ ∠DOE = ∠FOE + ∠FOD = $\frac{1}{2}$(∠BOF + ∠AOF) = $\frac{1}{2}$∠AOB = 64°.

8. (2024·滨州)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基者之一,被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导,他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图,$Rt△ABC$中,$∠C=90^{\circ },AB,BC,CA$的长分别为$c,a,b$.则可以用含$c,a,b$的式子表示出$△ABC$的内切圆直径$d$,下列表达式错误的是 (D)

A. $d=a+b-c$
B. $d=\frac {2ab}{a+b+c}$
C. $d=\sqrt {2(c-a)(c-b)}$
D. $d=|(a-b)(c-b)|$

答案： D

9. 如图,$AB,BC,CD$分别与$\odot O$相切于$E,F,G$,且$AB// CD,BO=6,CO=8$.
(1) 判断$△OBC$的形状,并证明你的结论;
直角三角形
(2) 求$\odot O$的半径$OF$的长.
4.8

答案：
(1) △OBC 是直角三角形. 证明：
∵ AB，BC，CD 分别与⊙O 相切于 E，F，G，
∴ ∠OBE = ∠OBF = $\frac{1}{2}$∠EBF，∠OCG = ∠OCF = $\frac{1}{2}$∠GCF.
∵ AB//CD，
∴ ∠EBF + ∠GCF = 180°，
∴ ∠OBF + ∠OCF = 90°，
∴ ∠BOC = 90°，
∴ △OBC 是直角三角形；
(2)
∵ 在 Rt△BOC 中，BO = 6，CO = 8，
∴ BC = $\sqrt{BO^{2} + CO^{2}}$ = 10.
∵ AB，BC，CD 分别与⊙O 相切于 E，F，G，
∴ OF⊥BC，
∴ OF = $\frac{BO×CO}{BC}$ = $\frac{6×8}{10}$ = 4.8.

10. 如图,$AB$为$\odot O$直径,$PA,PC$分别与$\odot O$相切于点$A,C,PQ⊥PA,PQ$交$OC$的延长线于点$Q$.
(1) 求证:$OQ=PQ$;
(2) 连$BC$并延长交$PQ$于点$D,PA=AB$,且$CQ=6$,求$BD$的长.

(1) 连接OP. ∵ PA，PC 分别与⊙O 相切于点 A，C，∴ PA = PC，OA⊥PA. ∵ OA = OC，OP = OP，∴ △OPA ≌ △OPC(SSS)，∴ ∠AOP = ∠POC. ∵ QP⊥PA，∴ QP//BA，∴ ∠QPO = ∠AOP，∴ ∠QOP = ∠QPO，∴ OQ = PQ；
(2) 设 OA = r. ∵ OB = OC，∴ ∠OBC = ∠OCB. ∵ OB//QD，∴ ∠QDC = ∠B. ∵ ∠OCB = ∠QCD，∴ ∠QCD = ∠QDC，∴ QC = QD = 6. ∵ QO = QP，∴ OC = DP = r. ∵ PC 是⊙O 的切线，∴ OC⊥PC，PC = PA = AB = 2r，∴ ∠OCP = ∠PCQ = 90°，在 Rt△PCQ 中，∵ PQ² = PC² + QC²，∴ (6 + r)² = (2r)² + 6²，r = 4 或 0(舍弃)，∴ OP = $\sqrt{4^{2} + 8^{2}}$ = 4$\sqrt{5}$，∵ OB = PD，OB//PD，∴ 四边形 OBDP 是平行四边形，∴ BD = OP = 4$\sqrt{5}$.

答案：
(1) 连接OP.
∵ PA，PC 分别与⊙O 相切于点 A，C，
∴ PA = PC，OA⊥PA.
∵ OA = OC，OP = OP，
∴ △OPA ≌ △OPC(SSS)，
∴ ∠AOP = ∠POC.
∵ QP⊥PA，
∴ QP//BA，
∴ ∠QPO = ∠AOP，
∴ ∠QOP = ∠QPO，
∴ OQ = PQ；
(2) 设 OA = r.
∵ OB = OC，
∴ ∠OBC = ∠OCB.
∵ OB//QD，
∴ ∠QDC = ∠B.
∵ ∠OCB = ∠QCD，
∴ ∠QCD = ∠QDC，
∴ QC = QD = 6.
∵ QO = QP，
∴ OC = DP = r.
∵ PC 是⊙O 的切线，
∴ OC⊥PC，PC = PA = AB = 2r，
∴ ∠OCP = ∠PCQ = 90°，在 Rt△PCQ 中，
∵ PQ² = PC² + QC²，
∴ (6 + r)² = (2r)² + 6²，r = 4 或 0(舍弃)，
∴ OP = $\sqrt{4^{2} + 8^{2}}$ = 4$\sqrt{5}$，
∵ OB = PD，OB//PD，
∴ 四边形 OBDP 是平行四边形，
∴ BD = OP = 4$\sqrt{5}$.