《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

9. (2024·西藏)某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动。四月份投入资金 20 万元，六月份投入资金 24.2 万元，现假定每月投入资金的增长率相同。
(1) 求该商场投入资金的月平均增长率；
(2) 按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元?

答案：
(1) 设商场投入资金的月平均增长率为 $ x $, 依题意得: $ 20(1 + x)^2 = 24.2 $, 解得: $ x_1 = 0.1 = 10\% $, $ x_2 = -2.1 $ (不合题意, 舍去), 答: 商场投入资金的月平均增长率为 $ 10\% $;
(2) 由题意得: $ 24.2×(1 + 10\%) = 26.62 $ (万元). 答: 预计该商场七月份投入资金将达到 26.62 万元.

10. (2023·东营)如图，老李想用长为 70 m 的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈 ABCD，并在边 BC 上留一个 2 m 宽的门(建在 EF 处，另用其他材料)。
(1) 当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为 $640m^2$ 的羊圈?
答：当羊圈的长为40m，宽为16m 或长为32m，宽为20m 时，能围成一个面积为 $640 m^2$ 的羊圈；
(2) 羊圈的面积能达到 $650m^2$ 吗? 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
答：不能，理由：由题意，得 $ x(72 - 2x) = 650 $, 化简, 得 $ x^2 - 36x + 325 = 0 $, $ \Delta = (-36)^2 - 4×325 = -4 ＜ 0 $, $ ∴ $ 一元二次方程没有实数根. $ ∴ $ 羊圈的面积不能达到 $ 650 m^2 $.

答案：
(1) 设矩形 $ ABCD $ 的边 $ AB = x $ m, 则边 $ BC = 70 - 2x + 2 = (72 - 2x) $ m. 根据题意, 得 $ x(72 - 2x) = 640 $, 化简, 得 $ x^2 - 36x + 320 = 0 $, 解得 $ x_1 = 16 $, $ x_2 = 20 $, 当 $ x = 16 $ 时, $ 72 - 2x = 72 - 32 = 40 $ (m), 当 $ x = 20 $ 时, $ 72 - 2x = 72 - 40 = 32 $ (m). 答: 当羊圈的长为 40 m, 宽为 16 m 或长为 32 m, 宽为 20 m 时, 能围成一个面积为 $ 640 m^2 $ 的羊圈;
(2) 答: 不能, 理由: 由题意, 得 $ x(72 - 2x) = 650 $, 化简, 得 $ x^2 - 36x + 325 = 0 $, $ \Delta = (-36)^2 - 4×325 = -4 ＜ 0 $, $ ∴ $ 一元二次方程没有实数根. $ ∴ $ 羊圈的面积不能达到 $ 650 m^2 $.

11. 某公司今年 4 月的营业额为 2 500 万元，按计划第二季度的总营业额要达到 9 100 万元，设该公司 5，6 两月的营业额的月平均增长率为 x。根据题意列方程，则下列方程正确的是 (D)
A. $2 500(1 + x)^2 = 9 100$
B. $2 500(1 + x\%)^2 = 9 100$
C. $2 500(1 + x) + 2 500(1 + x)^2 = 9 100$
D. $2 500 + 2 500(1 + x) + 2 500(1 + x)^2 = 9 100$

答案： D

12. 如图，有一块矩形硬纸板，长是 30 cm，宽是 20 cm。在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子。当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为 $200cm^2$?

设剪去正方形的边长为 $ x $ cm, 则做成无盖长方体盒子的底面长为 $ (30 - 2x) $ cm, 宽为 $ (20 - 2x) $ cm, 高为 $ x $ cm, 依题意, 得: $ 2×[(30 - 2x) + (20 - 2x)]x = 200 $, 整理, 得: $ 2x^2 - 25x + 50 = 0 $, 解得: $ x_1 = \frac{5}{2} $, $ x_2 = 10 $. 当 $ x = 10 $ 时, $ 20 - 2x = 0 $, 不合题意, 舍去. 答: 当剪去正方形的边长为$\frac{5}{2}$cm 时, 所得长方体盒子的侧面积为 $ 200 cm^2 $.

答案： 设剪去正方形的边长为 $ x $ cm, 则做成无盖长方体盒子的底面长为 $ (30 - 2x) $ cm, 宽为 $ (20 - 2x) $ cm, 高为 $ x $ cm, 依题意, 得: $ 2×[(30 - 2x) + (20 - 2x)]x = 200 $, 整理, 得: $ 2x^2 - 25x + 50 = 0 $, 解得: $ x_1 = \frac{5}{2} $, $ x_2 = 10 $. 当 $ x = 10 $ 时, $ 20 - 2x = 0 $, 不合题意, 舍去. 答: 当剪去正方形的边长为 $ \frac{5}{2} $ cm 时, 所得长方体盒子的侧面积为 $ 200 cm^2 $.

13. “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量 700 公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量 1 008 公斤的目标。
(1) 如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
(2) 按照(1)中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到 1 200 公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现。

答案：
(1) 设亩产量的平均增长率为 $ x $, 依题意得: $ 700(1 + x)^2 = 1008 $, 解得: $ x_1 = 0.2 = 20\% $, $ x_2 = -2.2 $ (不合题意, 舍去). 答: 亩产量的平均增长率为 $ 20\% $.
(2) $ 1008×(1 + 20\%) = 1209.6 $ (公斤). $ ∵ 1209.6 ＞ 1200 $, $ ∴ $ 他们的目标能实现.