《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

7. 用配方法解一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$,此方程可变形为 (A)
A. $(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$
B. $(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{4ac-b^{2}}{4a^{2}}$
C. $(x-\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$
D. $(x-\frac{b}{2a})^{2}=\frac{4ac-b^{2}}{4a^{2}}$

答案： A

8. 如图,若将左图正方形剪成四块,恰能拼成右图的矩形,设$a=1$,则这个正方形的面积为 (A)

A. $\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$
B. $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
D. $3+2\sqrt{2}$

答案： A

9. 已知三角形的两边长分别是1和2,第三边长是方程$2x^{2}-5x+3=0$的根,求这个三角形的周长.

答案： 4.5

10. 阅读下面一元二次方程求根公式的两种推导方法:
方法一:教材中的方法.
将$ax^{2}+bx+c=0$配方,可得$a(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a}$.
$\therefore (x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$.
当$b^{2}-4ac≥0$时,$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$.
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$.
方法二:$\because ax^{2}+bx+c=0$,
$\therefore 4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0$,
$\therefore (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac$,
当$b^{2}-4ac≥0$时,$2ax+b=\pm\sqrt{b^{2}-4ac}$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$.
请回答下列问题:
(1) 这两种方法有什么异同? 你认为哪个方法好?
两种方法的本质是相同的,都运用了配方法,不同的是:第一种方法配方出现分式比较繁,两边开平方时分子、分母都出现“±”,相除后为何只有分子上有“±”,不好理解;更重要的是易误认为 $\sqrt{4 a^{2}}=2 a $. 第二种方法运用等式性质后,配方无上述问题,是对教材方法的再创新! 所以第二种方法好.
(2) 选用上述方法解方程:$(x-1)(2-3x)=x-8$.
方程整理,得 $ 3 x^{2}-4 x-6=0,9 x^{2}-12 x-18=0,(3 x-2)^{2}=22, x_{1}=\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{22}}{3}, x_{2}=\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{22}}{3} $.

答案：
(1) 两种方法的本质是相同的,都运用了配方法,不同的是:第一种方法配方出现分式比较繁,两边开平方时分子、分母都出现“±”,相除后为何只有分子上有“±”,不好理解;更重要的是易误认为 $ \sqrt{4 a^{2}}=2 a $. 第二种方法运用等式性质后,配方无上述问题,是对教材方法的再创新! 所以第二种方法好.
(2) 方程整理,得 $ 3 x^{2}-4 x-6=0,9 x^{2}-12 x-18=0,(3 x-2)^{2}=22, x_{1}=\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{22}}{3}, x_{2}=\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{22}}{3} $.