《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

9. 关于x的二次三项式$x^{2}+4x+9$进行配方得$x^{2}+4x+9=(x+m)^{2}+n$.
(1) 填空：$m=$2，$n=$5；
(2) 当x为何值时，此二次三项式的值为7?
根据题意得：$x^{2}+4x+9=7$，$(x+2)^{2}=7-5$，$x+2=\pm\sqrt{2}$，$x=-2\pm\sqrt{2}$，即当 $x=$$-2\pm\sqrt{2}$时，此二次三项式的值为 7.

答案：
(1) 2 5
(2) 根据题意得：$x^{2}+4x+9=7$，$(x+2)^{2}=7-5$，$x+2=\pm\sqrt{2}$，$x=-2\pm\sqrt{2}$，即当 $x=-2\pm\sqrt{2}$ 时，此二次三项式的值为 7.

10. 若一元二次方程$x^{2}-2kx+k^{2}=0$的一根为$x=-1$，则k的值为 (A)
A. -1
B. 0
C. 1或-1
D. 2或0

答案： A

11. 将代数式$x^{2}-10x+5$配方后，发现它的最小值为 (B)
A. -30
B. -20
C. -5
D. 0

答案： B

12. 欧几里得的《原本》记载，形如$x^{2}+ax=b^{2}$的方程的图解法是：画$Rt\triangle ABC$，使$∠ACB=90^{\circ },BC=\frac {a}{2},AC=b$，再在斜边AB上截取$BD=\frac {a}{2}$.则该方程的一个正根是 (B)

A. AC的长
B. AD的长
C. BC的长
D. CD的长

答案： B

13. 若等腰三角形的两边长是一元二次方程$x^{2}-9x+18=0$的两根，求该等腰三角形的三边长.

答案： 6，6，3

14. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题.
例题：求代数式$y^{2}+4y+8$的最小值.
解：$y^{2}+4y+8=y^{2}+4y+4+4=(y+2)^{2}+4$
$\because (y+2)^{2}≥0,$
$\therefore (y+2)^{2}+4≥4,$
$\therefore y^{2}+4y+8$的最小值是4.
(1) 求代数式$m^{2}+2m+3$的最小值；
解：$m^{2}+2m+3=m^{2}+2m+1+2=(m+1)^{2}+2$，$\because (m+1)^{2}\geq0$，$\therefore (m+1)^{2}+2\geq2$，$\therefore$ 代数式 $m^{2}+2m+3$ 的最小值为2.
(2) 求代数式$2024-x^{2}+2x$的最大值.
解：$2024-x^{2}+2x=-x^{2}+2x-1+2025=-(x-1)^{2}+2025$，$\because (x-1)^{2}\geq0$，$\therefore -(x-1)^{2}+2025\leq2025$，$\therefore 2024-x^{2}+2x$ 的最大值为2025.

答案：
(1) $m^{2}+2m+3=m^{2}+2m+1+2=(m+1)^{2}+2$，$\because (m+1)^{2}\geq0$，$\therefore (m+1)^{2}+2\geq2$，$\therefore$ 代数式 $m^{2}+2m+3$ 的最小值为 2.
(2) $2024-x^{2}+2x=-x^{2}+2x-1+2025=-(x-1)^{2}+2025$，$\because (x-1)^{2}\geq0$，$\therefore -(x-1)^{2}+2025\leq2025$，$\therefore 2024-x^{2}+2x$ 的最大值为 2025.