《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

8. 如图所示,要把残破的图片复制完整,已知弧上的三点$A,B,C$.
(1) 用尺规作图找出$\overset{\frown}{BAC}$所在圆的圆心.图略
(2) 若$\triangle ABC$中,$BC=8cm,AB=AC=5cm$,求图片的半径$r$.$\frac{25}{6}$cm

答案：
(1) 图略
(2) $\frac{25}{6}$cm

9. 半径为5的$\odot O$是锐角三角形$ABC$的外接圆,$AB=AC$,连接$OB,OC$,延长$CO$交弦$AB$于点$D$.若$\triangle OBD$是直角三角形,则弦$BC$的长为5$\sqrt{3}$ 或 5$\sqrt{2}$.

答案： 5$\sqrt{3}$ 或 5$\sqrt{2}$

10. 如图,在平面直角坐标系中,$A(0,4),B(4,4),C(6,2)$.
(1) 经过$A,B,C$三点的圆弧所在圆的圆心$M$的坐标为______(2,0);
(2) 这个圆的半径为______2$\sqrt{5}$;
(3) 判断点$D(5,-2)$与$\odot M$的位置关系.
∵D(5, -2), M(2,0), ∴DM = $\sqrt{(5 - 2)^{2}+2^{2}}$ = $\sqrt{13}$. ∵ $\sqrt{13}$ ＜ 2$\sqrt{5}$, ∴ 点 D 在 $\odot M$ 内.

答案：
(1) (2,0)
(2) 2$\sqrt{5}$
(3)
∵D(5, -2), M(2,0),
∴DM = $\sqrt{(5 - 2)^{2}+2^{2}}$ = $\sqrt{13}$.
∵ $\sqrt{13}$ ＜ 2$\sqrt{5}$,
∴ 点 D 在 $\odot M$ 内.

11. 联想三角形外心的概念,我们可引入如下概念:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫作此三角形的准外心.例:已知$PA=PB$,则点$P$为$\triangle ABC$的准外心(图1).
(1) 如图2,$CD$为正三角形$ABC$的高,准外心$P$在高$CD$上,且$PD=\frac{1}{2}AB$,求$∠APB$的度数.90°
(2) 如图3,若$\triangle ABC$为直角三角形,$∠C=90^{\circ },AB=13,BC=5$,准外心$P$在$AC$边上,试探究$PA$的长.$\frac{169}{24}$或6

答案：
(1)
∵△ABC 是正三角形，CD⊥AB,
∴AD = BD. 则 CD 垂直平分 AB.
∴PA = PB. 因此 CD 上的任一点都是△ABC 的准外心.
∵PD = $\frac{1}{2}$AB,
∴PD = AD = BD,
∴△ADP 和△BDP 都是等腰直角三角形，
∴∠APD = ∠BPD = 45°,
∴∠APB = 90°；
(2) ① 若 PB = PA，设 PA = x,
∵∠C = 90°, AB = 13, BC = 5,
∴AC = 12，则 PC = 12 - x,
∴x² = (12 - x)² + 5²,
∴ 解得：x = $\frac{169}{24}$，即 PA = $\frac{169}{24}$. ② 若 PA = PC，则 PA = 6. ③ 若 PC = PB，由图知，在 Rt△PBC 中，不可能，故 PA = $\frac{169}{24}$ 或 6.