《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

1. 如图,$\odot O$是$\triangle ABC$的内切圆,则点 O 是$\triangle ABC$的 (B)



A. 三条边的垂直平分线的交点
B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点
D. 三条高的交点

答案： B

2. (2023·聊城)如图,点 O 是$\triangle ABC$外接圆的圆心,点 I 是$\triangle ABC$的内心,连接 OB,IA. 若$∠CAI=35^{\circ }$,则$∠OBC$的度数为 (C)
A. $15^{\circ }$
B. $17.5^{\circ }$
C. $20^{\circ }$
D. $25^{\circ }$

答案： C

3. (2023·镇江)《九章算术》中记载:“今有勾八步,股一十五步. 问勾中容圆径几何?”译文:今有一个直角三角形,勾(短直角边)长为 8 步,股(长直角边)长为 15 步,问该直角三角形内切圆的直径是多少? 书中给出的算法译文如下:如图,根据勾、股,求得弦长. 用勾、股、弦相加作为除数,用勾乘以股,再乘以 2 作为被除数,商即为该直角三角形内切圆的直径,求得该直径等于6步(注:“步”为长度单位).

答案： 6

4. (2023·湖北)如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB=70^{\circ },\triangle ABC$的内切圆$\odot O$与 AB,BC 分别相切于点 D,E,连接 DE,AO 的延长线交 DE 于点 F,则$∠AFD=$______35°.

答案： 35°

5. 如图,$\odot O$是$\triangle ABC$的内切圆,切点分别为 D,E,F,$∠ABC=60^{\circ },∠ACB=70^{\circ }$. 求:
(1)$∠BOC$的度数;
(2)$∠EDF$的度数.

答案：

(1)
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB = 35°，
∴∠BOC = 180° - 30° - 35° = 115°;
(2) 如图，连接OE，OF。
∵∠ABC = 60°，∠ACB = 70°，
∴∠BAC = 180° - 60° - 70° = 50°。
∵AB是⊙O的切线，
∴∠OFA = 90°。同理∠OEA = 90°，
∴∠BAC + ∠EOF = 180°，
∴∠EOF = 130°，
∴∠EDF = $\frac{1}{2}$∠EOF = 65°。

6. 如图,BC 为$\triangle ABC$的外接圆$\odot O$的直径,点 M 为$\triangle ABC$的内心,连接 AM 并延长交$\odot O$于点 D,连接 CD.
(1) 求$∠BCD$的大小;
(2) 若$CD=4$,求 DM 的值.

答案：

(1)
∵BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠BAC = 90°，
∵M为△ABC的内心，
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 45°，
∴∠BCD = ∠BAD = 45°。
(2) 如图，连接CM，
∵M为△ABC的内心，
∴∠BAD = ∠CAD，∠ACM = ∠BCM。
∵$\overparen{BD}$ = $\overparen{BD}$，
∴∠BAD = ∠BCD，
∴∠DAC = ∠BCD。
∵∠DMC = ∠DAC + ∠ACM，∠DCM = ∠BCD + ∠BCM，
∴∠DMC = ∠DCM，
∴CD = DM，
∴DM = CD = 4。