《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

16. (2023·成都)为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出.该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳184名观众同时观看演出.($\pi$取3.14，$\sqrt {3}$取1.73)

答案： 184

17. (2024·资阳)如图，在矩形ABCD中，$AB=4$，$AD=2$.以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与$\overset{\frown }{DE}$交于点F，则图中阴影部分的面积为$ \sqrt { 3 } + \frac { 2 } { 3 } \pi $.

答案： $ \sqrt { 3 } + \frac { 2 } { 3 } \pi $

18. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为$(8,5)$，$\odot A$与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与$\odot A$相切于点B.若$\angle APB=30^{\circ }$，则点P的坐标为______(0,11).

答案： $ ( 0, 11 ) $

19. (2023·金华)如图，点A在第一象限内，$\odot A$与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连接AB，过点A作$AH\perp CD$于点H.
(1) 求证：四边形ABOH为矩形；
(2) 已知$\odot A$的半径为4，$OB=\sqrt {7}$，求弦CD的长.

答案：

(1) $ \because \odot A $ 与 $ x $ 轴相切于点 $ B $，$ \therefore AB \perp x $ 轴。又 $ \because AH \perp CD $，$ HO \perp OB $，$ \therefore \angle AHO = \angle HOB = \angle OBA = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore $ 四边形 $ AHOB $ 是矩形；
(2) 如图，连接 $ AD $，$ \because $ 四边形 $ AHOB $ 是矩形，$ \therefore AH = OB = \sqrt { 7 } $。$ \because AD = AB = 4 $，$ \therefore DH = \sqrt { A D ^ { 2 } - A H ^ { 2 } } = \sqrt { 4 ^ { 2 } - ( \sqrt { 7 } ) ^ { 2 } } = 3 $。$ \because AH \perp CD $，$ \therefore CD = 2 D H = 6 $。

20. (2024·临夏州)如图，直线l与$\odot O$相切于点D，AB为$\odot O$的直径，过点A作$AE\perp l$于点E，延长AB交直线l于点C.
(1) 求证：AD平分$\angle CAE$；
(2) 如果$BC=1$，$DC=3$，求$\odot O$的半径.

答案：

(1) 连接 $ OD $，如图，$ \because $ 直线 $ l $ 与 $ \odot O $ 相切于点 $ D $，$ \therefore OD \perp CE $。$ \because AE \perp CE $，$ \therefore OD // AE $，$ \therefore \angle O D A = \angle E A D $。$ \because O A = O D $，$ \therefore \angle O D A = \angle O A D $，$ \therefore \angle O A D = \angle E A D $，$ \therefore AD $ 平分 $ \angle C A E $；
(2) 设 $ \odot O $ 的半径为 $ r $，则 $ O B = O D = r $，在 $ \mathrm { Rt } \triangle O C D $ 中，$ \because O D = r $，$ C D = 3 $，$ O C = r + 1 $，$ \therefore r ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } = ( r + 1 ) ^ { 2 } $，解得 $ r = 4 $，即 $ \odot O $ 的半径为 4。

21. 已知AB为$\odot O$的直径，$AB=6$，C为$\odot O$上一点，连接CA，CB.
(1) 如图1，若C为$\overset{\frown }{AB}$的中点，求$\angle CAB$的大小和AC的长；$\angle CAB$的大小为45°，AC的长为$3\sqrt{2}$
(2) 如图2，若$AC=2$，OD为$\odot O$的半径，且$OD\perp CB$，垂足为E，过点D作$\odot O$的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长.FD的长为3.

答案： $(1)$ 求$\angle CAB$的大小和$AC$的长
- **求$\angle CAB$的大小：
已知$AB$为$\odot O$的直径，则$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
因为$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得$\angle CAB=\angle CBA$。
又因为$\angle CAB+\angle CBA = 90^{\circ}$，所以$\angle CAB=\angle CBA = 45^{\circ}$。
- **求$AC$的长：
在$Rt\triangle ABC$中，$\cos\angle CAB=\frac{AC}{AB}$，已知$AB = 6$，$\angle CAB = 45^{\circ}$，$\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
则$AC = AB\cos\angle CAB=6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$。
$(2)$ 求$FD$的长
- **证明四边形$FDOA$是矩形：
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
又因为$OD\perp CB$，所以$OD// AC$（垂直于同一条直线的两条直线平行）。
因为$FD$是$\odot O$的切线，所以$OD\perp FD$（切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径）。
则$\angle FDO = 90^{\circ}$，又$\angle ACB = 90^{\circ}$，$OD// AC$，所以$\angle F = 90^{\circ}$。
$\angle AOD = 180^{\circ}-\angle A = 90^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补），所以四边形$FDOA$是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），则$FD = AO$。
- **求$FD$的长：
已知$AB = 6$，因为$AO=\frac{1}{2}AB$（半径是直径的一半），所以$AO = 3$，则$FD = 3$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{\angle CAB = 45^{\circ}}$，$\boldsymbol{AC = 3\sqrt{2}}$；$(2)$$\boldsymbol{FD = 3}$。