《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

10. 如图,已知扇形 $AOB$ 的圆心角为 $120^{\circ}$,半径 $OA$ 为 $6cm$.
(1) 求扇形 $AOB$ 的弧长;(结果保留 $\pi$)$4\pi cm$
(2) 如图所示,若把扇形纸片 $AOB$ 卷成一个圆锥形无底纸帽,求这个纸帽的高 $OH$.(结果保留根号)$4\sqrt{2} cm$

答案：
(1) 扇形 $AOB$ 的弧长 $=\frac{120\cdot\pi\cdot6}{180}=4\pi(cm)$。
(2) 设圆锥底面圆的半径为 $r cm$，所以 $2\pi r = 4\pi$，解得 $r = 2$，在 $Rt\triangle OHC$ 中，$HC = 2$，$OC = 6$，所以 $OH = \sqrt{OC^{2} - HC^{2}} = 4\sqrt{2}(cm)$。

11. 小林同学不仅是数学爱好者,还喜欢运用数学知识对日常生活中的事物进行分析,下面是他对如何制作圆锥形漏斗的分析.小林要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为 $20cm$,高为 $40\sqrt{2}cm$ 的锥形漏斗,要求只能有一条接缝(接缝忽略不计).
(1) 求这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数.
(2) 如图,有两种设计方案,请你计算一下,哪种方案所用的矩形铁皮面积较少?(参考数据:$\sqrt{3}\approx1.7$)

答案：

(1) 设这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为 $n$，$\because$ 底面半径为 $20cm$，高为 $40\sqrt{2}cm$ 的锥形漏斗，$\therefore$ 圆锥的母线长为 $\sqrt{20^{2} + (40\sqrt{2})^{2}} = 60cm$，$\therefore 2\pi\cdot20=\frac{n\pi\times60}{180}$，解得：$n = 120^{\circ}$，即这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为 $120^{\circ}$；
(2) 如图2，过点 $O$ 作 $OH \perp AD$，$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，由
(1) 知 $OM = ON = 60cm$，$\therefore OM = OH = AB = 60cm$。由
(1) 可得 $\angle MON = 120^{\circ}$，在 $Rt\triangle OBM$ 中，$\because \angle BOM = 30^{\circ}$，$\therefore BM = 30cm$，$\therefore OB = \sqrt{3}BM = 30\sqrt{3}cm$，$\therefore BC = 2OB = 60\sqrt{3}cm$，$\therefore$ 方案一所需的矩形铁皮的面积 $= 60 \times 60\sqrt{3} = 3600\sqrt{3} \approx 6120(cm^{2})$；如图3，$OM = ON = EF = 60$，$\angle MON = 120^{\circ}$，在 $Rt\triangle FOM$ 中，$\because \angle FOM = 60^{\circ}$，$\therefore OF = 30cm$，$\therefore FG = OF + OG = 30 + 60 = 90(cm)$，$\therefore$ 方案二所需的矩形铁皮的面积 $= 90 \times 60 = 5400(cm^{2})$，$\because 6120 ＞ 5400$，$\therefore$ 方案二所用的矩形铁皮面积较少。

12. 光明灯具厂生产一批台灯罩,如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图.已知半径 $OA$,$OC$ 分别为 $36cm$,$12cm$,$\angle AOB = 135^{\circ}$.
(1) 若要在灯罩的上下边缘镶上花边(花边的宽度忽略不计),需要多长的花边?$60\pi cm$
(2) 求灯罩的侧面积(接缝不计).(以上计算结果保留 $\pi$)$720\pi cm^{2}$

答案：
(1) $ \overset{\frown}{AB} $ 的长 $=\frac{135^{\circ}\pi \times 36}{180^{\circ}} = 27\pi$，$ \overset{\frown}{CD} $ 的长 $=\frac{135^{\circ}\pi \times 12}{180^{\circ}} = 9\pi$，$\therefore$ 花边的总长度 $=(2\pi \times 36 - 27\pi) + (2\pi \times 12 - 9\pi) = 60\pi(cm)$。
(2) $S_{扇形OAB}=\frac{135^{\circ}\pi \times 36^{2}}{360^{\circ}} = 486\pi$，$S_{扇形OCD}=\frac{135^{\circ}\pi \times 12^{2}}{360^{\circ}} = 54\pi$，$S_{侧}=S_{阴影}=(\pi \times 36^{2} - S_{扇形OAB}) - (\pi \times 12^{2} - S_{扇形OCD}) = 720\pi(cm^{2})$。