《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

1. 2022 年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛,单循环比赛共进行了 45 场,参加比赛的队伍共有 (B)
A. 8 支
B. 10 支
C. 7 支
D. 9 支

答案： B

2. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,遣人去买几株椽. 每株脚钱三文足,无钱准与一株椽. ”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为 6210 文. 如果每株椽的运费是 3 文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问 6210 文能买多少株椽? 设这批椽的数量为 x 株,则符合题意的方程是 (B)
A. $ 3(x - 1)x = 6210 $
B. $ 3(x - 1) = 6210 $
C. $ (3x - 1)x = 6210 $
D. $ 3x = 6210 $

答案： B

3. 某校团体操表演队伍有 6 行 8 列,后又增加了 51 人,使得团体操表演队伍增加的行、列数相同,求增加了多少行或多少列.

答案： 设增加了x行,则增加的列数为x,根据题意,得:(6 + x)(8 + x) - 6×8 = 51,整理,得:x² + 14x - 51 = 0,解得x1 = 3,x2 = - 17(舍),答:增加了3行3列。

4. 如图,A,B,C,D 为矩形的 4 个顶点,$ AB = 16 \mathrm{cm} $,$ BC = 6 \mathrm{cm} $,动点 P,Q 分别从点 A,C 同时出发,点 P 以 $ 3 \mathrm{cm}/\mathrm{s} $ 的速度向点 B 移动,一直到达点 B 为止;点 Q 以 $ 2 \mathrm{cm}/\mathrm{s} $ 的速度向点 B 移动,经过多长时间 P,Q 两点之间的距离是 $ 10 \mathrm{cm} $?

答:P,Q两点从出发经过$\frac{60 - 4\sqrt{69}}{13}$秒时，点P,Q间的距离是10cm。

答案： 设P,Q两点从出发经过t秒时，点P,Q间的距离是10cm,则PB = 16 - 3t,BQ = 6 - 2t,
∵PB² + BQ² = PQ²,
∴(16 - 3t)² + (6 - 2t)² = 10²,解得:t1 = $\frac{60 + 4\sqrt{69}}{13}$,t2 = $\frac{60 - 4\sqrt{69}}{13}$。
∵0 ＜ t ＜ 3,
∴t1 = $\frac{60 + 4\sqrt{69}}{13}$不合题意，舍去。答:P,Q两点从出发经过$\frac{60 - 4\sqrt{69}}{13}$秒时，点P,Q间的距离是10cm。

5. 如图,在 $\mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AC = 6 \mathrm{cm} $,$ BC = 8 \mathrm{cm} $,动点 P 从点 C 出发,沿 CA 方向运动,动点 Q 同时从点 B 出发,沿 BC 方向运动,如果点 P,Q 的运动速度均为 $ 1 \mathrm{cm}/\mathrm{s} $.
(1) 运动几秒时,点 P,Q 相距 $ 6 \mathrm{cm} $?
答:运动(4 - $\sqrt{2}$)秒或(4 + $\sqrt{2}$)秒时，点P,Q相距6cm。
(2) $ \triangle PCQ $ 的面积能等于 $ 10 \mathrm{cm}^2 $ 吗? 为什么?
答: $ \triangle PCQ $ 的面积不能等于 $ 10 \mathrm{cm}^2 $,理由如下:假设$ \triangle PCQ $的面积能等于$ 10 \mathrm{cm}^2 $,当运动时间为t(0 ≤ t ≤ 6)秒时,CP = tcm,CQ = (8 - t)cm,根据题意得:$\frac{1}{2}$t(8 - t) = 10,整理得:t² - 8t + 20 = 0,∵Δ = (- 8)² - 4×1×20 = - 16 ＜ 0,∴原方程没有实数根,∴假设不成立，即$ \triangle PCQ $的面积不能等于$ 10 \mathrm{cm}^2 $。

答案：
(1) 6÷1 = 6(秒)。当运动时间为t(0 ≤ t ≤ 6)秒时,CP = tcm,CQ = (8 - t)cm,根据题意得:t² + (8 - t)² = 6²,整理得:t² - 8t + 14 = 0,解得:t1 = 4 - $\sqrt{2}$,t2 = 4 + $\sqrt{2}$。答:运动(4 - $\sqrt{2}$)秒或(4 + $\sqrt{2}$)秒时，点P,Q相距6cm。
(2) △PCQ的面积不能等于10cm²,理由如下:假设△PCQ的面积能等于10cm²,当运动时间为t(0 ≤ t ≤ 6)秒时,CP = tcm,CQ = (8 - t)cm,根据题意得:$\frac{1}{2}$t(8 - t) = 10,整理得:t² - 8t + 20 = 0,
∵Δ = (- 8)² - 4×1×20 = - 16 ＜ 0,
∴原方程没有实数根,
∴假设不成立，即△PCQ的面积不能等于10cm²。