《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

9. 如图,$\odot O$中,如果$\overparen {AB}=2\overparen {AC}$,那么 (C)

A.$AB=AC$
B.$AB=2AC$
C.$AB＜2AC$
D.$AB＞2AC$

答案： C

10. 如图,A,B,C,D是$\odot O$上四点,且$AD=CB$,求证:$AB=CD$.
证明:$\because AD=CB$，$\therefore \overparen{AD}=\overparen{CB}$，$\therefore \overparen{AD}+\overparen{AC}=\overparen{CB}+\overparen{AC}$，即$\overparen{CAD}=\overparen{ACB}$，$\therefore AB=CD$.

答案： $\because AD=CB$，$\therefore \overparen{AD}=\overparen{CB}$，$\therefore \overparen{AD}+\overparen{AC}=\overparen{CB}+\overparen{AC}$，即$\overparen{CAD}=\overparen{ACB}$，$\therefore AB=CD$。

11. 如图,已知AB是$\odot O$的直径,M,N分别是OA,OB的中点,且$CM⊥AB,DN⊥AB$,垂足分别为点M,N.求证:$\overparen {AC}=\overparen {BD}$.

答案：
连接 $OC$，$OD$，如图，$\because AB$是$\odot O$的直径，$M$，$N$分别是 $AO$，$BO$的中点，$\therefore OM=ON$。$\because CM \perp AB$，$DN \perp AB$，$\therefore \angle OMC=\angle OND=90^{\circ}$，在$Rt \triangle OMC$和$Rt \triangle OND$中，$\begin{cases} OM=ON, \\ OC=OD, \end{cases}$ $\therefore Rt \triangle OMC \cong Rt \triangle OND(HL)$，$\therefore \angle COM=\angle DON$，$\therefore \overparen{AC}=\overparen{BD}$。

12. 我们学习了“弧、弦、圆心角的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下:圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们对应的其余各组量也相等.[弦心距指从圆心到弦的距离(如图1中的$OC,OC'$),弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度]
请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题.
如图2,O是$∠EPF$的平分线上一点,以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A,B,C,D.
(1) 求证:$AB=CD$;
(2) 若角的顶点P在圆上或圆内,上述结论还成立吗? 请说明理由.

答案：

(1) 如图 1，过点 $O$作 $OM \perp AB$于 $M$，$ON \perp CD$于 $N$，则$\angle OMB=\angle OND=90^{\circ}$，$\because PO$平分 $ \angle EPF$，$\therefore OM=ON$，$\therefore AB=CD$；
(2) 还成立，如图 2，当 $P$在$\odot O$上时；当 $P$在$\odot O$内时，如图 3，都只要证得 $OM=ON$即可。然后根据在同圆或等圆中，两条弦的弦心距相等，那么所对应的弦也相等，从而得到 $AB=CD$。