《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

10. 关于x的一元二次方程$mx^{2}-(3m-1)x+2m-1=0$的根的判别式的值为1,求m的值及该方程的根.

答案： 由题意得 $m \neq 0$，且 $b^{2}-4 a c=m^{2}-2 m+1=1$，解得 $m_{1}=0$ (舍去)，$m_{2}=2$．
∴ 原方程为 $2 x^{2}-5 x+3=0$，解得 $x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=1$．

11. 已知关于x的一元二次方程:$x^{2}-2x-k-2=0$有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)给k取一个负整数值,解这个方程.

答案：
(1) 根据题意得 $\Delta=(-2)^{2}-4(-k-2)＞0$，解得 $k＞-3$
(2) 取 $k=-2$，则方程变形为 $x^{2}-2 x=0$，解得 $x_{1}=0$，$x_{2}=2$．

12. (2023·锦州)若关于x的方程$kx^{2}-2x+3=0$有实数根,则k的取值范围是 (B)
A. $k＜\frac {1}{3}$
B. $k≤\frac {1}{3}$
C. $k＜\frac {1}{3}$且$k≠0$
D. $k≤\frac {1}{3}$且$k≠0$

答案： B

13. (2023·兰州)关于x的一元二次方程$x^{2}+bx+c=0$有两个相等的实数根,则$b^{2}-2(1+2c)=$ (A)
A. -2
B. 2
C. -4
D. 4

答案： A

14. 关于x的一元二次方程$(k-1)x^{2}-2x+1=0$有两个不相等的实数根,则k的取值范围是$k＜2$ 且 $k \neq 1$.

答案： $k＜2$ 且 $k \neq 1$

15. (2024·南充)已知$x_{1},x_{2}$是关于x的方程$x^{2}-2kx+k^{2}-k+1=0$的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若$k＜5$,且$k,x_{1},x_{2}$都是整数,求k的值.

答案：
(1)
∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta＞0$，
∴ $\Delta=(-2 k)^{2}-4 \times 1 \times\left(k^{2}-k+1\right)=4 k^{2}-4 k^{2}+4 k-4=4 k-4＞0$，解得 $k＞1$．
(2)
∵ $1＜k＜5$，
∴ 整数 $k$ 的值为 2，3，4，当 $k=2$ 时，方程为 $x^{2}-4 x+3=0$，解得 $x_{1}=1$，$x_{2}=3$，当 $k=3$ 或 4 时，此时方程解不为整数．综上所述，$k$ 的值为 2．

16. 已知关于x的方程$x^{2}+mx+m-2=0.$
(1)若此方程的一个根为1,求m的值;
(2)求证:不论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.

答案：
(1) 根据题意，将 $x=1$ 代入方程 $x^{2}+m x+m-2=0$，得：$1+m+m-2=0$，解得：$m=\frac{1}{2}$；
(2)
∵ $\Delta=m^{2}-4 \times 1 \times(m-2)=m^{2}-4 m+8=(m-2)^{2}+4＞0$，
∴ 不论 $m$ 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．