《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

6. (2023·山西)蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形. 如图是部分巢房的横截面图，图中 7 个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点 $ P $，$ Q $，$ M $ 均为正六边形的顶点. 若点 $ P $，$ Q $ 的坐标分别为 $ (-2 \sqrt{3}, 3) $，$ (0,-3) $，则点 $ M $ 的坐标为 (A)

A. $ (3 \sqrt{3},-2) $
B. $ (3 \sqrt{3}, 2) $
C. $ (2,-3 \sqrt{3}) $
D. $ (-2,-3 \sqrt{3}) $

答案： A

7. (2023·杭州)如图，六边形 $ ABCDEF $ 是 $ \odot O $ 的内接正六边形，设正六边形 $ ABCDEF $ 的面积为 $ S_{1} $，$ \triangle ACE $ 的面积为 $ S_{2} $，则 $ \frac{S_{1}}{S_{2}}= $______2.

答案： 2

8. (2023·陕西)如图，正八边形的边长为 2，对角线 $ AB $，$ CD $ 相交于点 $ E $. 则线段 $ BE $ 的长为______2 + $\sqrt{2}$.

答案： 2 + $\sqrt{2}$

9. 如图 1，正五边形 $ ABCDE $ 内接于 $ \odot O $，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 如图 2.
1. 作直径 $ AF $.
2. 以 $ F $ 为圆心，$ FO $ 为半径作圆弧，与 $ \odot O $ 交于点 $ M $，$ N $.
3. 连接 $ AM $，$ MN $，$ NA $.
(1) 求 $ \angle ABC $ 的度数.
(2) $ \triangle AMN $ 是正三角形吗? 请说明理由.
(3) 从点 $ A $ 开始，以 $ DN $ 长为边长，在 $ \odot O $ 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正 $ n $ 边形，求 $ n $ 的值.

答案：

(1)
∵ 五边形ABCDE是正五边形,
∴ ∠ABC = $\frac{(5 - 2) \times 180°}{5}$ = 108°, 即∠ABC = 108°;
(2) △AMN是正三角形, 理由: 连接ON, NF, 如图, 由题意可得: FN = ON = OF,
∴ △FON是等边三角形,
∴ ∠NFA = 60°,
∴ ∠NMA = 60°, 同理可得: ∠ANM = 60°,
∴ ∠MAN = 60°,
∴ △MAN是正三角形;
(3) 连接OD, 如图,
∵ ∠AMN = 60°,
∴ ∠AON = 120°.
∵ ∠AOD = $\frac{360°}{5}$ × 2 = 144°,
∴ ∠NOD = ∠AOD - ∠AON = 144° - 120° = 24°.
∵ 360° ÷ 24° = 15,
∴ n的值是15.