《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

9. 如图,在网格(每个小正方形的边长均为 1)中选取 9 个格点(格线的交点称为格点),如果以点 A 为圆心,r 为半径画圆,选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内,则 r 的取值范围为 (B)

A. $2\sqrt {2}＜r＜\sqrt {17}$
B. $\sqrt {17}＜r≤3\sqrt {2}$
C. $\sqrt {17}＜r＜5$
D. $5＜r＜\sqrt {29}$

答案： B

10. 在$△ABC$中,$∠C=90^{\circ },AC=4,BC=3$,以点 C 为圆心,r 为半径作$\odot C$.
(1)若 A,B 两点都不在$\odot C$内,则半径 r 的取值范围是$0＜r\leqslant3$;
(2)若 A,B 两点都在$\odot C$内,则半径 r 的取值范围是$r＞4$;
(3)若 A,B 两点中只有一个点在$\odot C$内,则半径 r 的取值范围是$3＜r\leqslant4$.

答案：
(1) $0＜r\leqslant3$
(2) $r＞4$
(3) $3＜r\leqslant4$

11. 定义:只有一组对角是直角的四边形叫作损矩形,连接它的两个非直角顶点的线段叫作这个损矩形的直径.
(1)如图,损矩形 ABCD,$∠ABC=∠ADC=90^{\circ }$,则该损矩形的直径是线段______.
(2)在损矩形 ABCD 内是否存在点 O,使得 A,B,C,D 四个点都在以 O 为圆心的同一圆上? 如果有,请指出点 O 的具体位置,并说明理由.

答案：

(1) AC
(2) 在损矩形ABCD内存在点O，使得A，B，C，D四个点都在以O为圆心的同一个圆上，O是线段AC的中点，连接OB，OD，如图，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴$OB=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}AC$.
∵$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，
∴OA=OB=OC=OD，
∴A，B，C，D四个点都在以O为圆心，$\frac{1}{2}AC$为半径的圆上.
　　　　　　　　　　　　　

12. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB=90^{\circ },AC=4,BC=3$,D 是以点 A 为圆心、2 为半径的圆上一点,连接 BD,M 为 BD 的中点,则线段 CM 长度的最小值为______1.5.

答案： 1.5

13. (2024·盱眙县期中)在平面直角坐标系 xOy 中,$\odot O$的半径为 1,对于点 P、点 A 和$\odot O$,给出下面定义:将点 P 绕点 A 顺时针旋转$90^{\circ }$得到点$P'$,若点$P'$在$\odot O$上或内部,则称点 P 为$\odot O$关于点 A 的旋垂点.
(1)如图 1,若点$A(2,2),$
①在点$P_{1}(4,0)$、$P_{2}(4,1)$中,为$\odot O$关于点 A 的旋垂点是______;
②点 P 是 x 轴上的动点,且点 P 为$\odot O$关于点 A 的旋垂点,则点 P 横坐标的最大值是______;
(2)如图 2,若点$A(-2,0)$,直线$y=x+b$上存在$\odot O$关于点 A 的旋垂点,求 b 的取值范围.

答案：

(1) ①$P_1$，$P_2$ ②5
(2) 如图，设⊙O与x轴正半轴交于点B，过点A作⊙O的切线AC，切点为点C，过点A作AE⊥x轴，使AE=AB=3，连接OC，过点C作CG⊥x轴于点G，∠BGC=∠AGC=90°，根据“旋垂点”的定义，可知：当直线$y=x+b$经过点E时，b取得最大值，当直线$y=x+b$经过点M时，b取得最小值，
∵⊙O的半径为1，A(-2,0)，
∴E(-2,3)，代入$y=x+b$，得$3=-2+b$，解得$b=5$；又
∵OA=2，OC=1，$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{3}$，
∴∠CAO=30°，
∴∠AOC=60°，
∴$GC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$OG=\frac{1}{2}$，
∴$AG=OA-OG=\frac{3}{2}$，将AC绕点A逆时针旋转90°得到AM，过点M作MN⊥OA于点N，则∠ANM=∠AGC=90°，AC=AM.
∵∠GAC+∠MAN=90°，∠AMN+∠MAN=90°，
∴∠GAC=∠AMN，在△AMN和△CAG中，$\begin{cases}∠ANM=∠CGA,\\∠AMN=∠CAG,\\AM=CA,\end{cases}$
∴△AMN≌△CAG(AAS)，
∴$MN=AG=\frac{3}{2}$，$AN=CG=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$ON=OA-AN=2-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$M(-2+\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$，把点M的坐标代入$y=x+b$，得：$\frac{3}{2}=-2+\frac{\sqrt{3}}{2}+b$，解得：$b=\frac{7-\sqrt{3}}{2}$，
∴b的取值范围是$\frac{7-\sqrt{3}}{2}\leqslant b\leqslant5$.