《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

9. (2024·通辽)如图,圆形拱门最下端AB在地面上,D为AB的中点,C为拱门最高点,线段CD经过拱门所在圆的圆心,若$AB=1m,CD=2.5m$,则拱门所在圆的半径为 (B)

A. 1.25 m
B. 1.3 m
C. 1.4 m
D. 1.45 m

答案： B

10. (2023·内蒙古)如图,$\odot O$是锐角三角形ABC的外接圆,$OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC$.垂足分别为D,E,F,连接DE,EF,FD.若$DE+DF=6.5,△ABC$的周长为21,则EF的长为 (B)

A. 8
B. 4
C. 3.5
D. 3

答案： B

11. 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1),隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史,是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形,桥的主桥拱是圆弧形,表示为$\widehat {AB}$.桥的跨度(弧所对的弦长)$AB=26m$,设$\widehat {AB}$所在圆的圆心为O,半径$OC⊥AB$,垂足为D.拱高(弧的中点到弦的距离)$CD=5m$.连接OB.
(1) 直接判断AD与BD的数量关系:AD=BD;
(2) 求这座石拱桥主桥拱的半径(精确到1 m):19m.

答案：
(1) $\because OC \perp AB$，$\therefore AD = BD$；
(2) 设主桥拱半径为 $R$，由题意可知 $AB = 26$，$CD = 5$，$\therefore BD = \frac{1}{2}AB = 13$，$OD = OC - CD = R - 5$。$\because \angle ODB = 90^{\circ}$，$\therefore OD^{2} + BD^{2} = OB^{2}$，$\therefore (R - 5)^{2} + 13^{2} = R^{2}$，解得 $R = 19.4 \approx 19$，答：这座石拱桥主桥拱的半径约为 $19m$。

12. 如图,在半径为$\sqrt {13}$的$\odot O$中,弦AB与CD交于点E,$∠DEB=75^{\circ },AB=6,$$AE=1$,则CD的长是 (C)

A. $2\sqrt {6}$
B. $2\sqrt {10}$
C. $2\sqrt {11}$
D. $4\sqrt {3}$

答案： C

13. 如图所示,在$\odot O$中,AB为弦,$OC⊥AB$交AB于点D.且$OD=DC$.P为$\odot O$上任意一点,连接PA,PB,若$\odot O$的半径为1,求$S_{△PAB}$的最大值.

答案：
连接 $OA$，如图，$\because OC \perp AB$，$\therefore AD = BD$，$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$。$\because OD = DC$，$\therefore OD = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}$，$\therefore AD = \sqrt{3}OD = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore \angle AOD = 60^{\circ}$，$AB = \sqrt{3}$，$\therefore \angle APB = \angle AOC = 60^{\circ}$，当点 $P$ 为 $AB$ 所在优弧的中点时，$\triangle APB$ 的面积最大，此时 $\triangle APB$ 为等边三角形，$\therefore \triangle APB$ 的面积的最大值为 $\frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$。