《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

10. (2024·南充)已知$m$是方程$x^{2}+4x - 1 = 0$的一个根，则$(m + 5)(m - 1)$的值为$-4$.

答案： $-4$

11. 若关于$x$的方程$x^{2}-kx - 12 = 0$的一个根为3，则$k$的值为$-1$.

答案： $-1$

12. (2023·攀枝花)$x^{2}-4x - 2 = 0$的两根分别为$m,n$，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n} = $$-2$.

答案： $-2$

13. (2023·岳阳)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2mx + m^{2}-m + 2 = 0$有两个不相等的实数根$x_{1},x_{2}$，且$x_{1}+x_{2}+x_{1}\cdot x_{2} = 2$，则实数$m = $3.

答案： 3

14. (2024·南京)已知$4-\sqrt{15}$是关于$x$的方程$(x - 2)(ax^{2}+bx + c) = 0(a,b,c$是有理数，$a\neq 0)$的一个根，则该方程的另外两个根分别是$2,4+\sqrt{15}$.

答案： $2,4+\sqrt{15}$

15. 某班级$QQ$群里的同学开展了互赠明信片活动，要求每两个人之间都要赠送一张明信片.若这个群一共赠送了1560张明信片，则这个$QQ$群里一共有40名同学.

答案： 40

16. 如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形$ABCD$土地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与$AB$平行，另一条与$AD$平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为$78m^{2}$，那么通道的宽应设计成多少米？设通道的宽为$x$m，由题意可列得方程______$(30 - 2x)(20 - x)=78×6$.

答案： $(30 - 2x)(20 - x)=78\times6$

17. 解下列方程：
(1)$(x - 2)^{2}=5(x - 2)$；解：$x_{1}=2,x_{2}=7$
(2)$(2x - 1)^{2}=x(3x + 2)-7$.解：$x_{1}=2,x_{2}=4$

答案：
(1) $x_{1}=2,x_{2}=7$
(2) $x_{1}=2,x_{2}=4$

18. 先化简，再求值：$(x - 1)\div(\frac{2}{x + 1}-1)$，其中$x$为方程$x^{2}+3x + 2 = 0$的根.

答案： 解方程，得$x_{1}=-2,x_{2}=-1$（不合题意，舍去），化得原式得$-x - 1$，代入$x=-2$得1.

19. 用配方法解关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$.

答案： $\because a\neq0,\therefore x^{2}+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^{2},\therefore(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$，当$b^{2}-4ac\geq0,x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},\therefore x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，当$b^{2}-4ac\lt0$，方程无实根.

20. (2024·内江)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-px + 1 = 0(p$为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$.
(1) 填空：$x_{1}+x_{2} = $$p$，$x_{1}x_{2} = $1；
(2) 求$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$，$x_{1}+\frac{1}{x_{1}}$；
$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$=$p$，$x_{1}+\frac{1}{x_{1}}$=$p$
(3) 已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p + 1$，求$p$的值.
$p$=3

答案：
(1) $p,1$；
(2) $\because x_{1}+x_{2}=p,x_{1}x_{2}=1,\therefore\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{p}{1}=p$；$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-px + 1 = 0$（$p$为常数）有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2},\therefore x_{1}^{2}-px_{1}+1=0,\therefore x_{1}-p+\frac{1}{x_{1}}=0$，即$x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=p$；
(3) 由根与系数的关系得：$x_{1}+x_{2}=p,x_{1}x_{2}=1,\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p + 1,\therefore(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2p + 1,\therefore p^{2}-2=2p + 1$，解得：$p_{1}=3,p_{2}=-1$，当$p = 3$时，$\Delta=p^{2}-4=9 - 4 = 5\gt0$；当$p=-1$时，$\Delta=p^{2}-4=-3\lt0$；$\therefore p = 3$.