《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

示例 已知离散型随机变量$X$的方差为$1$，则$D(2X + 1) =$4.【4】

答案： 4

示例 某运动员的投篮命中率$p = 0.7$，则该运动员在一次投篮中命中次数$X$的方差为0.21.【5】

答案： 0.21

【例1】已知随机变量$X$的分布列为

则$D(X)=$,$\sigma(X)=$.

答案： 根据随机变量$X$的分布列性质，有：
$0.4 + 0.1 + a = 1$，
解得$a = 0.5$。
计算$X$的数学期望$E(X)$：
$E(X) = 1 × 0.4 + 3 × 0.1 + 5 × 0.5 = 3.2$。
使用定义法计算方差$D(X)$：
$D(X) = (1 - 3.2)^{2} × 0.4 + (3 - 3.2)^{2} × 0.1 + (5 - 3.2)^{2} × 0.5 = 3.56$。
计算标准差$\sigma(X)$：
$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{3.56} = \frac{\sqrt{89}}{5}$，
或使用公式法计算方差$D(X)$：
$D(X) = E(X^{2}) - (E(X))^{2}$
$= 1^{2} × 0.4 + 3^{2} × 0.1 + 5^{2} × 0.5 - 3.2^{2} = 3.56$，
$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{3.56} = \frac{\sqrt{89}}{5}$。
故答案为：$3.56$；$\frac{\sqrt{89}}{5}$。

【例2】已知袋中有20个大小相同的球,其中标有数字0的有10个,标有数字$n(n=1,2,3,4)$的有$n$个.现从袋中任取一球,随机变量$X$表示所取球上标的数字，求X的方差、标准差

答案： 1. 首先求$X$的分布列：
$P(X = 0)=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$；
$P(X = 1)=\frac{1}{20}$；
$P(X = 2)=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$；
$P(X = 3)=\frac{3}{20}$；
$P(X = 4)=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$。
2. 然后求$X$的期望$E(X)$：
$E(X)=0×\frac{1}{2}+1×\frac{1}{20}+2×\frac{1}{10}+3×\frac{3}{20}+4×\frac{1}{5}$
$=\frac{1}{20}+\frac{2}{10}+\frac{9}{20}+\frac{4}{5}$
$=\frac{1 + 4+9 + 16}{20}$
$=\frac{30}{20}=\frac{3}{2}$。
3. 接着求$X$的方差$D(X)$：
$D(X)=(0-\frac{3}{2})^2×\frac{1}{2}+(1 - \frac{3}{2})^2×\frac{1}{20}+(2-\frac{3}{2})^2×\frac{1}{10}+(3-\frac{3}{2})^2×\frac{3}{20}+(4-\frac{3}{2})^2×\frac{1}{5}$
$=\frac{9}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{1}{20}+\frac{1}{4}×\frac{1}{10}+\frac{9}{4}×\frac{3}{20}+\frac{25}{4}×\frac{1}{5}$
$=\frac{9}{8}+\frac{1}{80}+\frac{1}{40}+\frac{27}{80}+\frac{5}{4}$
$=\frac{90 + 1+2 + 27+100}{80}$
$=\frac{220}{80}=\frac{11}{4}$。
4. 最后求$X$的标准差$\sigma(X)$：
$\sigma(X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{\frac{11}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{2}$。
综上，$X$的方差$D(X)=\frac{11}{4}$，标准差$\sigma(X)=\frac{\sqrt{11}}{2}$。

1-1[多选题]随机变量$X$的分布列如下表,则(BCD)


A.$E(X)=2$
B.$D(X)=\frac{2}{3}$
C.$P(0\leq X\leq1)=\frac{20}{27}$
D.$P(X=2)=\frac{2}{9}$

答案： 1-1 BCD 解析：由题意，得$\frac{8}{27}+\frac{4}{9}+m+\frac{1}{27}=1$，解得$m=\frac{2}{9}$
可得$E(X)=0×\frac{8}{27}+1×\frac{4}{9}+2×\frac{2}{9}+3×\frac{1}{27}=1$，
$D(X)=\frac{8}{27}×1^{2}+\frac{4}{9}×0^{2}+\frac{2}{9}×1^{2}+\frac{1}{27}×2^{2}=\frac{2}{3}$
$P(0\leq X\leq1)=P(X=0)+P(X=1)=\frac{8}{27}+\frac{4}{9}=\frac{20}{27}$，
$P(X=2)=\frac{2}{9}$.故选BCD.