《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例 9 按下列要求分配$6$本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1) 分成三份，$1$份$1$本，$1$份$2$本，$1$份$3$本；
(2) 甲、乙、丙三人中，一人得$1$本，一人得$2$本，一人得$3$本；
(3) 平均分成三份，每份$2$本；
(4) 平均分配给甲、乙、丙三人，每人$2$本；
(5) 分成三份，$1$份$4$本，另外两份每份$1$本；
(6) 甲、乙、丙三人中，一人得$4$本，另外两人每人得$1$本。

答案：
(1)
$C_{6}^{1}C_{5}^{2}C_{3}^{3}=\frac{6!}{1!(6 - 1)!}×\frac{5!}{2!(5 - 2)!}×\frac{3!}{3!(3 - 3)!}=6×10×1 = 60$（种）
(2)
由
(1)知分成三份的方法有$60$种，再分给甲、乙、丙三人有$A_{3}^{3}=\frac{3!}{(3 - 3)!}=6$种方法，所以共有$60× A_{3}^{3}=60×6 = 360$（种）
(3)
$C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}÷ A_{3}^{3}=\frac{\frac{6!}{2!(6 - 2)!}×\frac{4!}{2!(4 - 2)!}×\frac{2!}{2!(2 - 2)!}}{3!}=\frac{15×6×1}{6}=15$（种）
(4)
由
(3)知分成三份有$15$种方法，再分给甲、乙、丙三人有$A_{3}^{3}=6$种方法，所以共有$15× A_{3}^{3}=15×6 = 90$（种）
(5)
$C_{6}^{4}C_{2}^{1}÷ A_{2}^{2}=\frac{\frac{6!}{4!(6 - 4)!}×\frac{2!}{1!(2 - 1)!}}{2!}=\frac{15×2}{2}=15$（种）
(6)
由
(5)知分成三份有$15$种方法，再分给甲、乙、丙三人有$A_{3}^{3}=6$种方法，所以共有$15× A_{3}^{3}=15×6 = 90$（种）

例 10 有$10$个运动员名额，分给班号分别为$1$，$2$，$3$的$3$个班。
(1) 每班至少$1$个名额，有多少种分配方案？
(2) 每班至少$2$个名额，有多少种分配方案？
(3) 可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？
分析 “名额”是没有区别的，说明这是相同元素的分配问题，可采用“隔板法”处理。

答案：
(1)36；
(2)15；
(3)66。

2 - 8 有四个编号为$1$，$2$，$3$，$4$的不同的盒子，还有四个编号为$1$，$2$，$3$，$4$的不同的小球，现把小球放入盒子里。
(1) 小球全部放入盒子中有多少种不同的放法；
(2) 恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法；
(3) 恰有两个盒子没放球有多少种不同的放法。

答案： 2-8 解：
(1)小球全部放入盒子中有$4^4 =256$种不同的放法.
(2)恰有一个盒子没放球有$\frac{C_4^1C_4!C_3^1}{A_2^2} =144$种不同的放法.
(3)恰有两个盒子没放球有$(C_4^2 + \frac{C_4^2C_2^2}{A_2^2})C_2^1A_2^2 = 84$种不同的放法.