《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

1.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数
均为奇数”,N为“至少有一次点数是3”,则P(MM)等于(B)

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{5}{9}$
C.$\frac{1}{2}$
D.{

答案： 1.B 解析：因为事件$M = \{(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)\}$，$n(M) = 9$，事件$MN = \{(1,3),(3,1),(3,3),(3,5),(5,3)\}$，$n(MN) = 5$，所以$P(N|M) = \frac{5}{9}$。

2.已知随机变量X服从正态分布N(3,o),且P(X＜1)=0.1,
则P(3≤X≤5)等于(D)

A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4

答案： 2.D 解析：因为随机变量$X$服从正态分布$N(3,\sigma^{2})$，所以正态密度曲线关于直线$x = 3$对称，
又$P(X ＜ 1) = 0.1$，所以$P(X ＞ 5) = 0.1$，
则$P(3 \leq X \leq 5) = \frac{P(1 \leq X \leq 5)}{2} = \frac{1 - 0.1 × 2}{2} = 0.4$。

3.随机变量X的分布列如下:

X 0 1
P a b
当D(X)取到最大值时,a=(C)

A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 3.C 解析：由题意知$X$满足两点分布，
所以$D(X) = a(1 - a) = - (a - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4}$，
显然当$a = \frac{1}{2}$时，$D(X)$取得最大值.

4.某小区为了解居民用水情况,通过随机抽样得到部分家
庭月均用水量(单位:t),将所得数据分为6组:[4,6),[6,
8),[8,10),[10,12),[12,14),[14,16],并整理得到如图
7−6−7的频率分布直方图,若以频率替代概率，从该小区随机抽取5个家庭，则月均用水量在区间[8,12)内的家庭个数X的数学期望为(B)

A.3.6
B.3
C.1.6
D.1.5

答案： 4.B 解析：由题意可知在区间$[8,12)$内的概率$p = 0.16 × 2 + 0.14 × 2 = 0.6 = \frac{3}{5}$，则$X \sim B(5,\frac{3}{5})$，所以$E(X) = 5 × \frac{3}{5} = 3$。

5.已知盒子中装有n(n＞1)个一等品和2个二等品，从中任
取2个产品(取到每个产品都是等可能的),用随机变量
X表示取到一等品的个数，X的分布列如表所示，则D(A)
等于(B)

X 0 1 2
P a 2 b

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$ $\frac{1}{4}$

答案： 5.B 解析：由分布列可得$a + b = \frac{1}{3}$，
$P(X = 1) = \frac{C_{2}^{1}C_{n}^{1}}{C_{n + 2}^{2}} = \frac{2}{3}$，所以$n = 2$，
又$P(X = 0) = \frac{C_{2}^{2}}{C_{4}^{2}} = \frac{1}{6} = a$，所以$b = \frac{1}{6}$，
进而可得$E(X) = \frac{2}{3} + 2b = 1$，
故$D(X) = (0 - 1)^{2}a + (1 - 1)^{2} × \frac{2}{3} + (2 - 1)^{2}b = a + b = \frac{1}{3}$。

6.2025年3月21日是第25个世界睡眠日,主题是“健康睡
眠，优先之选”.某中学数学兴趣小组为了研究良好睡眠
与学习状态的关系,调查发现该校3000名学生每天平
均睡眠时间(单位:h)X~N(8,1),则该校每天平均睡眠时
间为6h~7h的学生人数约为(B)
_
附:若X~N(μ,o²),则P(μ−o≤X≤μ+α)≈0.6827,
P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ−3σ≤X≤μ+3)
≈0.9973.

A.64
B.408
C.472
D.815

答案： 6.B 解析：因为$X \sim N(8,1)$，
所以$\mu = 8,\sigma^{2} = 1$，得$\sigma = 1$，
所以$P(6 \leq X \leq 7) = P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu - \sigma) \approx \frac{0.9545 - 0.6827}{2} = 0.1359$，
所以该校每天平均睡眠时间为$6 \sim 7h$的学生人数为$3000 × 0.1359 \approx 408$。

7.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可
发球3次，一旦发球成功,则停止发球，否则一直发到3
次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球
次数为X,若X的数学期望E(X)＞1.75,则p的取值范围
是(C)
A.(0,$\frac{7}{12}$)
B.($\frac{7}{12},1)$
C.(0,$\frac{1}{2}$)
D.($\frac{1}{2}$,1)

答案： 7.C 解析：根据题意，学生发球次数为1，即一次发球成功的概率$P(X = 1) = p$；
发球次数为2，即第一次发球不成功第二次发球成功的概率$P(X = 2) = p(1 - p)$；
发球次数为3，即前两次发球都不成功的概率$P(X = 3) = (1 - p)^{2}$。
则$E(X) = p + 2p(1 - p) + 3(1 - p)^{2} = p^{2} - 3p + 3$。
依题意有$E(X) ＞ 1.75$，则$p^{2} - 3p + 3 ＞ 1.75$，
解得$p ＞ \frac{5}{2}$或$p ＜ \frac{1}{2}$。
结合$p$的实际意义，可得$0 ＜ p ＜ \frac{1}{2}$，
故$p$的取值范围是$(0,\frac{1}{2})$。

8.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时
从中任取3个来使用，比赛后放回盒中.第二次比赛时
再从中任取3个球,则第二次取出的球都是新球的概率
为(A)

A.$\frac{441}{3025}$
B.$\frac{441}{1025}$
C.$\frac{5}{121}$
D.$\frac{13}{41}$

答案： 8.A 解析：令$A_{i}$表示“第一次任取3个球使用时，取出$i$个新球$(i = 0,1,2,3)$”，$B$表示“第二次任取的3个球都是新球”，则有$P(A_{0}) = \frac{C_{3}^{3}}{C_{12}^{3}} = \frac{1}{220}$，$P(A_{1}) = \frac{C_{3}^{2}C_{9}^{1}}{C_{12}^{3}} = \frac{27}{220}$，$P(A_{2}) = \frac{C_{3}^{1}C_{9}^{2}}{C_{12}^{3}} = \frac{108}{220}$，$P(A_{3}) = \frac{C_{9}^{3}}{C_{12}^{3}} = \frac{84}{220}$，根据全概率公式，
第二次取到的球都是新球的概率为$P(B) = P(A_{0})P(B|A_{0}) + P(A_{1})P(B|A_{1}) + P(A_{2})P(B|A_{2}) + P(A_{3})P(B|A_{3}) = \frac{1}{220} × \frac{C_{9}^{3}}{C_{9}^{3}} + \frac{27}{220} × \frac{C_{8}^{3}}{C_{9}^{3}} + \frac{108}{220} × \frac{C_{7}^{3}}{C_{9}^{3}} + \frac{84}{220} × \frac{C_{6}^{3}}{C_{9}^{3}} = \frac{441}{3025}$。

9.已知A,B,C为随机事件,A为事件A的对立事件,则下
列表述中正确的有(CD)

A.若A,B独立,则P(A|B)=P(B)
B.P((BUC)|A)=P(B|A)+P(C|A)
C.P(A|B)+P(A|B)=1
D.P(A|B)≥P(AB)

答案： 9.CD 解析：若$A,B$独立，则$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = P(A),A$错误；
只有$B,C$为互斥事件时，才有$P((B \cup C)|A) = P(B|A) + P(C|A)$，B错误；
$P(A|B)$表示在事件$B$发生的情况下事件$A$发生的概率，$P(\bar{A}|B)$表示在事件$B$发生的情况下事件$\bar{A}$发生的概率，
所以$P(A|B) + P(\bar{A}|B) = 1$，故C正确；
$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \geq P(AB)$，D正确.

10.某计算机程序每运行一次都会随机出现一个五位二进
制数A=aαaa4a(例如10100),其中A的各位上的数
字a(k=2,3,4,5)出现0的概率为$\frac{1}{3}$,出现1的概率为
$\frac{2}{3}$,记X=a+a;+a+as,则当程序运行一次时(AC)

A.X服丛二项分布
B.P(X=2)=$\frac{8}{81}$
C.E(X)=$\frac{8}{3}$
D.D(X)=$\frac{8}{3}$

答案： 10.AC 解析：由二进制数$A$的特点，
知后4位上的数字的填法有5类：
①后4位上的数字均为0，则$X = 0$，
$P(X = 0) = (\frac{1}{3})^{4} = \frac{1}{81}$；
②后4位上的数字中只出现1个1，
则$X = 1$，
$P(X = 1) = C_{4}^{1} × (\frac{2}{3})^{1} × (\frac{1}{3})^{3} = \frac{8}{81}$；
③后4位上的数字中出现2个1，
则$X = 2$，
$P(X = 2) = C_{4}^{2} × (\frac{2}{3})^{2} × (\frac{1}{3})^{2} = \frac{8}{27}$；
④后4位上的数字中出现3个1，
则$X = 3$，
$P(X = 3) = C_{4}^{3} × (\frac{2}{3})^{3} × (\frac{1}{3})^{1} = \frac{32}{81}$；
⑤后4位上的数字均为1，
则$X = 4,P(X = 4) = (\frac{2}{3})^{4} = \frac{16}{81}$。
由上述可知$X \sim B(4,\frac{2}{3})$，故A正确；
易知B错误；
$E(X) = 4 × \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$，故C正确；
$D(X) = 4 × \frac{2}{3} × \frac{1}{3} = \frac{8}{9}$，故D错误.

11.随机变量忑的分布列如下表,其中xy≠0,下列说法正
确的是(ABC)

x 0 1 2
P x

A.x+y=1
B.E(忑)=等
C.D(S)有最大值
D.D()随y的增大而减小

答案： 11.ABC 解析：由题意可知$x + \frac{y}{3} + \frac{2y}{3} = 1$，即$x + y = 1$，故A正确；
$E(\xi) = 0 × x + 1 × \frac{y}{3} + 2 × \frac{2y}{3} = \frac{5y}{3}$，故B正确；
$D(\xi) = x(0 - \frac{5y}{3})^{2} + \frac{y}{3}(1 - \frac{5y}{3})^{2} + \frac{2y}{3}(2 - \frac{5y}{3})^{2} = -\frac{25}{9}y^{2} + 3y$，
因为$xy \neq 0,x + y = 1$，易得$0 ＜ y ＜ 1$，
而$f(y) = -\frac{25}{9}y^{2} + 3y$的图象开口向下，对称轴为直线$y = \frac{27}{50}$，所以$f(y)$在$(0,\frac{27}{50})$上单调递增，在$(\frac{27}{50},1)$上单调递减，故$f(y)$在$y = \frac{27}{50}$处取得最大值，
所以$D(\xi)$随着$y$的增大先增大后减小，
当$y = \frac{27}{50}$时取得最大值，故C正确，D错误.