《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

1. [2025·济南高二检测]某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知该地区某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(A)

A.0.8
B.0.75
C.0.6
D.0.45

答案： 1.A 解析：设该地区某天的空气质量为优良为事件A，随后一天的空气质量为优良为事件B，则P(A)=0.75，P(AB)=0.6，所以P(B|A)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$=$\frac{0.6}{0.75}$=0.8.

2. [2025·安徽宿州高二检测]吃青团是我国好多地方清明节的习俗之一.这天小亮的妈妈给他送来5个青团，其中3个豆沙馅，2个蛋黄馅，小亮随机取出2个青团，若事件$M$＝“取到的2个青团为同一种馅”，事件$N$＝“取到的2个青团都是豆沙馅”，则$P(N|M)$＝(B)

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{3}{10}$
D.$\frac{1}{10}$

答案： 2.B 解析：由题意知P(M)=$\frac {C_{3}^{2}+C_{2}^{2}}{C_{5}^{2}}$=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$，事件MN表示“取到的2个青团为同一种馅且是豆沙馅”，则P(MN)=$\frac {C_{3}^{2}}{C_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，所以P(N|M)=$\frac{P(MN)}{P(M)}$=$\frac{3}{4}$.

3. 将一枚质地均匀的骰子连续抛两次，得到正面朝上的点数分别为$x,y$，记事件$A$为“$x+y$为偶数”，事件$B$为“$x+y＜7$”，则$P(B|A)$的值为(B)

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{5}{9}$
D.$\frac{7}{9}$

答案： 3.B 解析：将一枚质地均匀的骰子连续抛两次，样本点总数为36，若事件A为“x+y为偶数”，则x，y两个数均为奇数或均为偶数，其包含的样本点有(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，(6，2)，(6，4)，(6，6)，共18个，所以P(A)=$\frac{18}{36}$=$\frac{1}{2}$.当A，B同时发生时，包含的样本点有(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共9个，所以P(AB)=$\frac{9}{36}$=$\frac{1}{4}$.故P(B|A)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$=$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$.

4. 已知市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是(A)

A.0.665
B.0.56
C.0.24
D.0.0285

答案： 4.A 解析：记“买到甲厂产品”为事件A，“买到合格产品”为事件B，则P(A)=0.7，P(B|A)=0.95，所以P(AB)=P(A)P(B|A)=0.7×0.95=0.665.

5. 已知$P(B|A)=0.6,P(A)=0.3$，则$P(A\overline{B})=$(A)

A.0.12
B.0.18
C.0.21
D.0.42

答案： 5.A 解析：因为P(B|A)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$，即$\frac{P(AB)}{0.3}$=0.6，所以P(AB)=0.18.又P(A)=P(AB)+P(A$\overline {B}$)，所以P(A$\overline {B}$)=P(A)-P(AB)=0.3-0.18=0.12.

6. [多选题]假设$A,B$是两个事件，且$P(A)＞0,P(B)＞0$，则下列结论不一定成立的有(BC)

A.$P(AB)\leq P(B|A)$
B.$P(AB)=P(A)P(B)$
C.$P(B|A)=P(A|B)$
D.$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$

答案： 6.BC 解析：对于A，由P(B|A)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$，0＜P(A)≤1，可知P(AB)≤P(B|A)，故A一定成立；对于B，当事件A与B相互独立时，P(AB)=P(A)P(B)，其他情况不一定成立，故B不一定成立；对于C，P(B|A)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$，P(A|B)=$\frac{P(AB)}{P(B)}$，故当P(A)=P(B)时，才有P(B|A)=P(A|B)，故C不一定成立；对于D，P(B|A)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$一定成立.

7. [多选题]7张卡片上分别写有$\frac{1}{2},\pi,1+i,\ln2,-1,\sqrt{2},e$，其中$i$为虚数单位.从这7张卡片中随机抽取1张，记“抽到的卡片上的数是正实数”为事件$A$，“抽到的卡片上的数是无理数”为事件$B$，则下列选项正确的有(BD)

A.$P(A)=\frac{3}{7}$
B.$P(B)=\frac{4}{7}$
C.$P(AB)=\frac{20}{49}$
D.$P(B|A)=\frac{4}{5}$

答案： 7.BD 解析：A选项，7个数中，正实数为$\frac{1}{2}$，π，ln2，$\sqrt{2}$，e，共5个，故P(A)=$\frac{5}{7}$，A错误；B选项，7个数中，无理数为π，ln2，$\sqrt{2}$，e，共4个，故P(B)=$\frac{4}{7}$，B正确；C选项，7个数中，既是无理数，又是正实数的是π，ln2，$\sqrt{2}$，e，共4个，故P(AB)=$\frac{4}{7}$，C错误；D选项，由条件概率公式得P(B|A)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$=$\frac{\frac{4}{7}}{\frac{5}{7}}$=$\frac{4}{5}$，D正确.故选BD.

8. 小张、小李到某地旅游，准备分别从甲、乙、丙、丁四个旅游景点中随机选择一个景点游玩，记事件$A$：小张和小李至少有一人选择甲景点，事件$B$：小张和小李选择的景点不同，则$P(B|A)=$$\frac{6}{7}$.

答案： 8.$\frac{6}{7}$ 解析：小张和小李至少有一人选择甲景点对应的样本点个数为4×4 - 3×3 = 7，即n(A)=7，两人选择的景点不同，且至少有一人选择甲景点对应的样本点个数为$C_{2}^{1}$×$C_{3}^{1}$=6，即n(AB)=6，所以P(B|A)=$\frac{n(AB)}{n(A)}$=$\frac{6}{7}$.

9. 某校高三(1)班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，求：
(1)恰有1名女生参加劳动技能学习的概率；
(2)在至少有1名女生参加劳动技能学习的条件下，都是女生参加劳动技能学习的概率.

答案： 9.解：设A表示事件“恰有1名女生参加劳动技能学习”，B表示事件“至少有1名女生参加劳动技能学习”，C表示事件“都是女生参加劳动技能学习”，则
(1)P(A)=$\frac {C_{4}^{1}C_{3}^{1}}{C_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$；
(2)P(B)=$\frac {C_{4}^{1}C_{3}^{1}+C_{2}^{2}}{C_{6}^{2}}$=$\frac{9}{15}$，P(C)=P(BC)=$\frac {C_{2}^{2}}{C_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，所以P(C|B)=$\frac{P(BC)}{P(B)}$=$\frac{\frac{1}{15}}{\frac{9}{15}}$=$\frac{1}{9}$.

10. 某班有7名班干部，其中男生4人，女生3人，任选3人参加学校的义务劳动.
(1)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(2)设“男生甲被选中”为事件$A$，“女生乙被选中”为事件$B$，求$P(A)$和$P(B|A)$.

答案： 10.解：
(1)由题意知，任选3人参加学校的义务劳动的总选法有$C_{7}^{3}$=35(种)，又男生甲和女生乙都没有被选中的选法有$C_{5}^{3}$=10(种)，所以男生甲和女生乙都没有被选中的概率为$\frac {C_{5}^{3}}{C_{7}^{3}}$=$\frac{10}{35}$=$\frac{2}{7}$，所以男生甲或女生乙被选中的概率为1 - $\frac{2}{7}$=$\frac{5}{7}$.
(2)由题意知，男生甲被选中的选法有$C_{6}^{2}$=15(种)，则男生甲被选中的概率为P(A)=$\frac {C_{6}^{2}}{C_{7}^{3}}$=$\frac{15}{35}$=$\frac{3}{7}$，男生甲、女生乙都被选中的概率为P(AB)=$\frac {C_{5}^{1}}{C_{7}^{3}}$=$\frac{5}{35}$=$\frac{1}{7}$，所以在男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率为P(B|A)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$=$\frac{\frac{1}{7}}{\frac{3}{7}}$=$\frac{1}{3}$.