《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

[示例] 据统计,某椪柑的果实横径(单位:mm)服从正态分布$N(70,25)$,则果实横径在$(60,75]$的概率为()

A.0.6827
B.0.8186
C.0.8413
D.0.9545

答案： B

例1 (1)甲、乙两类产品的质量(单位：kg)分别服从正态分布$N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$N(\mu_2,\sigma_2^2)$，其正态密度曲线如图7-5-8所示，则下列说法正确的是()
A. 甲类产品的平均质量小于乙类产品的平均质量
B. 乙类产品的质量比甲类产品的质量更集中于平均值左右
C. 甲类产品的平均质量为1kg
D. 乙类产品质量的方差为2
(2)[多选题]设随机变量$X$服从正态分布$N(4,4)$，且$P(X＜2 - 3m)=P(X＞m^2 + 6)$，则实数$m$的值可以为()
A.0
B.1
C.2
D.3

答案：
(1)A
(2)AD

1-1 [多选题]一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示，下列说法中正确的有(AD)


A.甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大
D.甲、乙、丙三科总体的平均数相同

答案： 1-1 AD 解析：由题图可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态曲线的性质，可知$\sigma$越大，正态曲线越“矮胖”，$\sigma$越小，正态曲线越“瘦高”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙。

1-2 一条正态曲线如图所示，根据该图象写出其正态密度函数的解析式为$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{(x - 20)^2}{4}},x\in \mathbf{R}$，$\mu = 20$，$\sigma^2=2$.

答案： 1-2 $f(x)=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{(x - 20)^2}{4}},x\in \mathbf{R}$ 20 2
解析：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线$x = 20$对称，最大值是$\frac{1}{2\sqrt{\pi}}$，所以$\mu = 20,\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}$，解得$\sigma=\sqrt{2}$，所以正态密度函数的解析式是$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{(x - 20)^2}{4}}$，$x\in \mathbf{R}$，随机变量的均值为20，方差为2.