《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例3 零部件生产水平是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一，其中切割加工技术是一项重要技术.某精密仪器制造商研发了一种切割设备，用来生产高精度的机械零件，经过长期生产检验，可以认为该设备生产的零件尺寸服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$.某机械加工厂购买了该切割设备，在正式投入生产前进行了试生产，从试生产的零件中任意抽取$10$件作为样本，下面是样本的尺寸$x_{i}(i = 1,2,3,·s,10$，单位：mm)：
$100.03$ $100.4$ $99.92$ $100.52$ $99.98$
$100.35$ $99.92$ $100.44$ $100.66$ $100.78$
用样本的平均数$\bar{x}$作为$\mu$的估计值，用样本的标准差$s$作为$\sigma$的估计值.
(1)按照技术标准的要求，若样本尺寸均在$[\mu - 3\sigma,\mu + 3\sigma]$范围内，则认定该设备质量合格，根据数据判断该切割设备的质量是否合格.
(2)该机械加工厂将该切割设备投入生产，对生产的零件制订了两种销售方案(假设每种方案对销售量没有影响)：
方案$1$：每个零件均按$70$元定价销售.
方案$2$：若零件的实际尺寸在$[99.7,100.3]$内，则该零件为$A$级零件，每个零件定价$100$元；否则为$B$级零件，每个零件定价$60$元.
哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明.
附：$\sum_{i = 1}^{10}x_{i}^{2}\approx100601.8$，样本方差$s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}=\frac{1}{n}\left(\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2}-n\bar{x}^{2}\right)$.

答案：
(1)
$\bar{x}=\frac{1}{10}×(100.03 + 100.4 + 99.92 + 100.52 + 99.98 + 100.35 + 99.92 + 100.44 + 100.66 + 100.78)=100.3$，
$s^{2}=\frac{1}{10}×\left(\sum_{i = 1}^{10}x_{i}^{2}-10\bar{x}^{2}\right)=\frac{1}{10}×(100601.8 - 10×100.3^{2})\approx0.09$，
$s\approx0.3$，
$\mu - 3\sigma\approx100.3 - 3×0.3 = 99.4$，
$\mu + 3\sigma\approx100.3 + 3×0.3 = 101.2$，
样本尺寸都在$[99.4,101.2]$内，该切割设备质量合格。
(2)
方案1：每个零件售价$70$元。
方案2：$X\sim N(100.3,0.3^{2})$，
$P(\xi = 100)=P(99.7\leq X\leq100.3)=P(\mu - 2\sigma\leq X\leq\mu)\approx0.47725$，
$P(\xi = 60)=1 - 0.47725 = 0.52275$，
$E(\xi)=60×0.52275 + 100×0.47725 = 77$（元），
$77＞70$，方案2的利润更大。

例4 某校积极响应国家号召，组织全校学生加强实心球项目训练，规定该校男生投掷实心球$6.9 m$达标，女生投掷实心球$6.2 m$达标，并拟定投掷实心球的考试方案为每位学生可以投掷$3$次，一旦达标无需再投.从该校任选$5$名学生进行测试，如果有$2$人不达标的概率超过$0.1$，则该校学生还需加强实心球项目训练.已知该校男生投掷实心球的距离$\xi_{1}$服从正态分布$N(6.9,0.25)$，女生投掷实心球的距离$\xi_{2}$服从正态分布$N(6.2,0.16)(\xi_{1},\xi_{2}$的单位：m).
(1)请你通过计算，判断该校学生是否还需加强实心球项目训练.
(2)为提高学生考试达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校女生投掷实心球的距离$\xi_{2}$服从正态分布$N(6.516,0.16)$，且$P(\xi_{2}\leq6.832)=0.785$.此时，请判断该校女生投掷实心球的考试达标率能否达到$98\%$？并说明理由.（取$\sqrt[3]{10}$的值约为$2.15$）

答案：
(1) 因为男生$\xi_{1}\sim N(6.9,0.25)$，其均值$\mu_{1}=6.9$（达标线），正态分布关于均值对称，故男生达标概率为$0.5$；女生$\xi_{2}\sim N(6.2,0.16)$，其均值$\mu_{2}=6.2$（达标线），同理女生达标概率为$0.5$。因此该校学生达标概率为$0.5$，不达标概率为$0.5$。任选$5$名学生，有$2$人不达标的概率为$C_{5}^{2}×(0.5)^{2}×(0.5)^{3}=10×\frac{1}{32}=\frac{5}{16}\approx0.3125＞0.1$，所以该校学生还需加强实心球项目训练。
(2) 能。理由：训练后女生$\xi_{2}\sim N(6.516,0.16)$，则$\mu=6.516$，$\sigma=0.4$。由$P(\xi_{2}\leq6.832)=0.785$，且$6.832=\mu+0.316$，故$6.2=\mu-0.316$。由正态分布对称性，$P(\xi_{2}\leq\mu-0.316)=P(\xi_{2}\geq\mu+0.316)=1-P(\xi_{2}\leq\mu+0.316)=1-0.785=0.215$，即单次投掷不达标概率为$0.215$。考试达标率为$1-(0.215)^{3}$，又$\sqrt[3]{10}\approx2.15$，则$0.215\approx\frac{\sqrt[3]{10}}{10}$，$(0.215)^{3}\approx\left(\frac{\sqrt[3]{10}}{10}\right)^{3}=\frac{10}{1000}=0.01$，故达标率$\approx1-0.01=0.99\geq0.98$，所以该校女生投掷实心球的考试达标率能达到$98\%$。