《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例 7 已知随机变量$X$的分布列为

(1)求$Y_1 = \frac{1}{2}X$的分布列； ⟹$Y_1$与$X$一一对应.
(2)求$Y_2 = X^2$的分布列.

答案：
(1) $Y_1 = \frac{1}{2}X$ 的分布列为
|$Y_1$|-1|$-\frac{1}{2}$|0|$\frac{1}{2}$|1|$\frac{3}{2}$|
|--|--|--|--|--|--|--|
|$P$|$\frac{1}{12}$|$\frac{1}{4}$|$\frac{1}{3}$|$\frac{1}{12}$|$\frac{1}{6}$|$\frac{1}{12}$|
(2) $Y_2 = X^2$ 的分布列为
|$Y_2$|0|1|4|9|
|--|--|--|--|--|
|$P$|$\frac{1}{3}$|$\frac{1}{3}$|$\frac{1}{4}$|$\frac{1}{12}$|

3-3 某市$A$，$B$两所中学的学生组队参加辩论赛，$A$中学推荐了 3 名男生、2 名女生，$B$中学推荐了 3 名男生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队.
(1)求$A$中学至少有 1 名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设$X$表示参赛的男生人数，求$X$的分布列.

答案： 3-3 解：
(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人.代表队中的学生全从B中学抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为$\frac{C_{3}^{3}C_{4}^{3}}{C_{3}^{3}C_{6}^{3}} = \frac{1}{100}$，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为$1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$.
(2)根据题意知$X$的可能取值为1,2,3，
$P(X = 1) = \frac{C_{3}^{1}C_{3}^{3}}{C_{4}^{4}} = \frac{1}{5}$，
$P(X = 2) = \frac{C_{3}^{2}C_{6}^{2}}{C_{4}^{4}} = \frac{3}{5}$，
$P(X = 3) = \frac{C_{3}^{3}C_{6}^{1}}{C_{4}^{4}} = \frac{1}{5}$，
所以$X$的分布列为
$X$ 1 2 3
$P$ $\frac{1}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{1}{5}$

4-1 设离散型随机变量$X$的分布列为

若随机变量$Y = X - 2$，则$P(Y = 2)$等于(A)

A.0.3
B.0.4
C.0.6
D.0.7

答案： 4-1 A 解析：由$0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.3 + m = 1$，得$m = 0.3$，所以$P(Y = 2) = P(X = 4) = 0.3$.

4-2 已知随机变量$X$的分布列为

若$P(X^2 ＜ m) = \frac{11}{12}$，则实数$m$的取值范围是(B)

A.$[4,9]$
B.$(4,9]$
C.$[4,9)$
D.$(4,9)$

答案： 4-2 B 解析：由随机变量$X$的分布列知，$X^{2}$的可能取值为0,1,4,9，且$P(X^{2} = 0) = \frac{4}{12}$，
$P(X^{2} = 1) = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12}$，
$P(X^{2} = 4) = \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{3}{12}$，
$P(X^{2} = 9) = \frac{1}{12}$.
因为$P(X^{2} ＜ m) = \frac{11}{12} = \frac{4}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12}$，所以实数$m$的取值范围是$(4,9]$.