《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

1. 已知随机变量$X$服从正态分布$N(0,1)$，若$P(X\leq1)=0.84$，则$P(-1＜X\leq0)$等于(A)

A.$0.34$
B.$0.68$
C.$0.15$
D.$0.07$

答案： 1.A 解析：由题意得$P(X＞1)=1-P(X\leq1)=1-0.84=0.16$，所以$P(-1＜X\leq0)=\frac{1}{2} ×(1-0.16×2)=0.34$。

2. $[2025·$济南高二检测$]$已知随机变量$X$服从正态分布$N(3,4)$，若$P(X＞2c+1)=P(X＜2c-1)$，则$c$的值为(A)

A.$\frac{3}{2}$
B.$2$
C.$1$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 2.A 解析：由正态曲线的对称性知，$(2c+1)-3=3-(2c-1)$，解得$c=\frac{3}{2}$。

3. 某中学抽取了$1 600$名同学进行身高调查，已知身高$X$(单位：$cm)$服从正态分布$N(170,\sigma^{2})$，若身高在$165 cm$到$175 cm$的人数占样本总数的$\frac{4}{5}$，则身高不低于$175 cm$的人数为(B)

A.$80$
B.$160$
C.$240$
D.$320$

答案： 3.B 解析：因为身高$X$服从正态分布$N(170,\sigma^{2})$，所以其正态曲线关于直线$x = 170$对称.
又身高在$165cm$到$175cm$之间的人数占样本总数的$\frac{4}{5}$，由对称性可知样本中身高不低于$175cm$的人数占样本总数的$\frac{1}{2} ×(1-\frac{4}{5})=\frac{1}{10}$，所以身高不低于$175cm$的人数为$\frac{1}{10} ×1600=160$。

4. 设随机变量$X$的概率分布密度函数是$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}·$
$e^{-\frac{(x-1)^{2}}{8}}$，$x\in \mathbf{R}$，则$E(2X+1)$的值是(C)

A.$5$
B.$9$
C.$3$
D.$2$

答案： 4.C 解析：因为$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{-(x-1)^{2}}{8}},x\in R$，所以$\mu = 1$，则$E(X)=1$，故$E(2X + 1)=2E(X)+1=3$。

5. 已知随机变量$X$服从正态分布$N(10,2^{2})$，则$D(3X-1)$
$=$(D)

A.$6$
B.$11$
C.$18$
D.$36$

答案： 5.D 解析：因为随机变量$X$服从正态分布$N(10,2^{2})$，所以$D(X)=4$，所以$D(3X - 1)=3^{2}D(X)=9×4=36$。

6.$[2025·$山东枣庄高二检测$]$已知随机变量$X\sim B(6,p)$，
$Y\sim N(\mu,\sigma^{2})$，且$P(Y\geq2)=\frac{1}{2}$，$E(X)=E(Y)$，则$p$等
于(B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$

答案： 6.B 解析：因为随机变量$X\sim B(6,p)$，所以$E(X)=6p$。
因为$Y\sim N(\mu,\sigma^{2}),P(Y\geq2)=\frac{1}{2}$，所以$\mu = 2$，即$E(Y)=2$。
又$E(X)=E(Y)$，所以$6p = 2$，即$p=\frac{1}{3}$。

7. 设随机变量$X\sim N(3,6^{2})$，若$P(X＞m)=0.3$，则$P(X$
$\geq6-m)=$(B)

A.$0.9$
B.$0.7$
C.$0.5$
D.$0.3$

答案： 7.B 解析：由题意，知随机变量$X\sim N(3,6^{2})$，可得$\mu = 3$。
因为$\frac{m + 6 - m}{2}=3$且$P(X＞m)=0.3$，所以根据正态曲线的对称性，可得$P(X＜6 - m)=0.3$，所以$P(X\geq6 - m)=1 - P(X＜6 - m)=0.7$。

8.$[2025·$武汉高二检测$]2024$年国庆期间，某高速公路
收费站的四个高速收费口每天通过的小汽车数$X(i=$
$1,2,3,4)$(单位：辆)均服从正态分布$N(600,\sigma^{2})$，若
$P(500＜X＜700)=\frac{1}{3}(i=1,2,3,4)$，假设四个收费口均
能正常工作，则这四个收费口每天至少有一个不低于
$700$辆小汽车通过的概率为(D)

A.$\frac{8}{9}$
B.$\frac{8}{27}$
C.$\frac{16}{27}$
D.$\frac{65}{81}$

答案： 8.D 解析：根据正态曲线的对称性可知，每个收费口有不低于$700$辆小汽车通过的概率$P(X_{i}\geq700)=\frac{1}{2} ×[1 - P(500＜X_{i}＜700)]=\frac{1}{2} ×(1-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}(i = 1,2,3,4)$，所以这四个收费口每天至少有一个不低于$700$辆小汽车通过的概率为$1-(1-\frac{1}{3})^{4}=\frac{65}{81}$。

9.$[$多选题$]$已知随机变量$X$的正态密度函数为$\varphi(x)=$
$\frac{1}{\sqrt{2\pi a}}e^{-\frac{(x-b)^{2}}{2a^{2}}}(a＞0,b＞0)$，且$\varphi(x)$的极大值点为$2a$，记
$f(k)=P(X＜k),g(k)=P(X＞k+a)$，则(BCD)

A.$X\sim N(b,a)$
B.$X\sim N(2a,a^{2})$
C.$f(a)=g(2a)$
D.$f(2a)+g(2a)=f(a)+g(a)$

答案： 9.BCD 解析：根据已知可得，$\mu = b$，$\sigma = a$，因为$\varphi(x)$的极大值点为$2a$，所以有$b = 2a$，所以$X\sim N(2a,a^{2})$，故A选项错误，B选项正确；
又$f(a)=P(X＜a),g(2a)=P(X＞2a + a)=P(X＞3a)$，根据正态曲线的对称性，可知$P(X＜a)=P(X＞3a)$，所以$f(a)=g(2a)$，故C选项正确；
因为$\mu = 2a$，所以$f(2a)=P(X＜2a)=\frac{1}{2},g(a)=P(X＞2a)=\frac{1}{2}$，结合C选项，得$f(2a)+g(2a)=\frac{1}{2}+f(a)=f(a)+g(a)$，故D选项正确.

10.$[2025·$河南南阳高二检测$]$设随机变量$\xi$服从正态分
布$N(\mu,\sigma^{2})$，且方程$x^{2}+4x+\xi=0$无实数根的概率为$\frac{1}{2}$，
则$\mu=$4.

答案： 10.4 解析：因为方程$x^{2}+4x+\xi=0$无实数根的概率为$\frac{1}{2}$，且由$\Delta=16 - 4\xi＜0$，得$\xi＞4$，所以$P(\xi＞4)=\frac{1}{2}=1 - P(\xi\leq4)$，故$P(\xi\leq4)=\frac{1}{2}$，所以$\mu = 4$。

11.$[2025·$长沙高二检测$]$某厂包装白糖的生产线，正常情
况下生产出来的白糖质量服从正态分布$N(500,5^{2})($单
位：$g)$.
(1)正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于$485 g$的
概率约为多少？
(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得
其质量均小于$485 g$，检测员根据抽检结果，判断出该生
产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合
理？请说明理由.

答案： 11.解：
(1)设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为$Xg$，由题意可知$X\sim N(500,5^{2})$，因为$485 = 500 - 3×5$，所以由正态分布的对称性可知，$P(X＜485)=\frac{1}{2}×[1 - P(485\leq X\leq515)]\approx\frac{1}{2}×0.0027=0.00135$。
(2)检测员的判断是合理的.理由如下：
因为如果生产线不出现异常的话，由
(1)可知，随机抽取两包白糖检测，质量都小于$485g$的概率约为$0.00135×0.00135=0.0000018225=1.8225×10^{-6}$，为极小概率事件，几乎不可能发生，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，即检测员的判断是合理的.