《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例 12 哥德巴赫猜想是“每个大于$2$的偶数都可以写成两个素数(素数指大于$1$的自然数中，除了$1$和它本身以外不再有其他因数的自然数)之和”，如$18 = 7 + 11$，在不超过$44$的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于$44$的概率是()
A.$\frac{1}{39}$
B.$\frac{1}{33}$
C.$\frac{1}{26}$
D.$\frac{3}{91}$

答案： D

例 13 (1) 四面体的一个顶点为$A$，从其他顶点和各棱中点中取$3$个点，使它们和点$A$在同一平面上，有多少种不同的取法？
(2) 四面体的顶点和各棱中点共$10$个点，在其中取$4$个不共面的点，有多少种不同的取法？

答案：
(1) 33
(2) 141

3 - 3 从长度分别为$1$，$2$，$3$，$4$，$5$的五条线段中任取三条，以取出的三条线段为边可组成钝角三角形的概率为(D)
A.$\frac{3}{10}$
B.$\frac{1}{10}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{1}{5}$

答案： 3-3 D 解析：从5条线段中任取3条，不同的取法有$C_5^3 = 10$种，其中能组成三角形的有$(2, 3, 4), (3, 4, 5), (2, 4, 5)$，共3种，能组成钝角三角形的只有$(2, 3, 4)$和$(2, 4, 5)$这2种，所以所求概率为$\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$。

3 - 4 某区有$7$条南北向街道，$5$条东西向街道(如图所示)。

(1) 图中有多少个矩形？
(2) 从点$A$走向点$B$最短的走法有多少种？

答案： 3-4 解：
(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形$C_7^2C_5^2 = 210$个.
(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从点A到点B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段是走南北方向同的)，共有$C_{10}^6C_4^4 = 210$种走法.

例 14 已知$\frac{1}{C_{5}^{m}}-\frac{1}{C_{6}^{m}}=\frac{7}{10C_{7}^{m}}$，求$m$。

答案： 解:整理得:m²-23m+42=0
解得m=2或m=21
∵0≤m≤5,m∈N*
∴m=2

1 - 1 若$xC_{x}^{x - 1}+A_{x}^{3}=4C_{x + 1}^{3}$，则$x$的值为4。

答案： 1-1 4 解析：由题意，得$x^2 + x(x - 1)(x - 2) = \frac{2x(x - 1)(x + 1)}{3}$，
解得$x = 2$或$x = 4$，
又$x \geq 3$，故$x = 4$。