《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

易错二 误认为$C_n^k a^{n - k}b^k$是展开式的第$k$项
例13 求$(x + a)^{12}$的展开式中的倒数第4项.

答案： $220a^9x^3$

1-1 在$\left(x-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^6$的展开式中，含$x^3$项的系数为$\frac{15}{4}$.

答案： 1-1 $\frac{15}{4}$ 解析：$T_{k + 1} = \mathrm{C}_{20}^k x^{6 - k}·$
$\left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)\mathrm{C}_{20}^k x^{6 - \frac{3}{2}k}$.
令$6 - \frac{3}{2}k = 3$，可得$k = 2$，则$x^3$的系
数为$\left(-\frac{1}{2}\right)^2\mathrm{C}_{20}^2 = \frac{1}{4}×15 = \frac{15}{4}$.

2-1 $\left(\frac{\sqrt{x}}{3}-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)^{12}$的展开式的中间一项为924.

答案： 2-1 924 解析：$\left(\frac{\sqrt{x}}{3} - \frac{3}{\sqrt{x}}\right)^{12}$展开式
的通项$T_{k + 1} = \mathrm{C}_{12}^k·\left(\frac{\sqrt{x}}{3}\right)^{12 - k}·\left(-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)^k$，
令$k = 6$，得$T_7 = \mathrm{C}_{12}^6·\left(\frac{\sqrt{x}}{3}\right)^6·\left(-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)^6$
$= \mathrm{C}_{12}^6 = 924$，
即展开式的中间一项为$924$.

例1 [2024·北京卷]在$(x-\sqrt{x})^4$的展开式中，$x^3$的系数为(A)
A.6
B.$-6$
C.12
D.$-12$

答案： 例1 A

例2 [全国I卷]$(x^2 + x + y)^5$的展开式中，$x^5y^2$的系数为(C)
A.10
B.20
C.30
D.60

答案： 例2 C

例3 [全国I卷]$x+\frac{y^2}{x}(x + y)^5$的展开式中$x^3y^3$的系数为(C)
A.5
B.10
C.15
D.20

答案： 例3 C