《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

1.[2025·长沙高二检测]已知随机变量$X$的分布列为
$X$
$-1$
$0$
$1$
$P$
$a$
$b$
$\frac{1}{2}$
若$E(X)=\frac{1}{4}$,则$D(X)=($ $)$

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{11}{16}$
D.$\frac{15}{16}$

答案： 1.C 解析：由分布列的性质可知，
$a+b+\frac{1}{2}=1$，所以$a+b=\frac{1}{2}$。
又$E(X)=\frac{1}{4}$，即$-1 × a+0 × b+1 × \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，解得$a=\frac{1}{4}$，$b=\frac{1}{4}$，
所以$D(X)=(-1-\frac{1}{4})^2 × \frac{1}{4}+(0-\frac{1}{4})^2 × \frac{1}{4}+(1-\frac{1}{4})^2 × \frac{1}{2}=\frac{11}{16}$。

2.[2025·山东潍坊高二检测]设随机变量$X$的分布列如下表所示，其中$a,b,c$成等差数列，若$E(X)=\frac{1}{3}$，则$D(X)=($ $)$
$X$
$-1$
$0$
$1$
$P$
$a$
$b$
$c$

A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{5}{8}$
C.$\frac{5}{9}$
D.$\frac{7}{9}$

答案： 2.C 解析：因为$a,b,c$成等差数列，
$E(X)=\frac{1}{3}$，所以由随机变量$X$的分布
列，知$\begin{cases}a+b+c=1,\\2b=a+c,\\-a+c=\frac{1}{3},\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{6},\\b=\frac{1}{3},\\c=\frac{1}{2}.\end{cases}$
所以$D(X)=(-1-\frac{1}{3})^2 × \frac{1}{6}+(0-\frac{1}{3})^2 × \frac{1}{3}+(1-\frac{1}{3})^2 × \frac{1}{2}=\frac{5}{9}$。

3.[2025·北京西城区高二检测]一道试题，甲解出的概率为$\frac{2}{3}$，乙解出的概率为$\frac{4}{5}$.设解出该题的人数为$X$，则$D(X)=($ $)$

A.$\frac{22}{15}$
B.$\frac{86}{225}$
C.$\frac{225}{484}$
D.$\frac{225}{85}$

答案： 3.B 解析：$X$的可能取值为$0,1,2$.
因为$P(X=0)=(1-\frac{2}{3}) × (1-\frac{4}{5})$
$=\frac{1}{15}$，
$P(X=1)=\frac{2}{3} × (1-\frac{4}{5})+(1-\frac{2}{3}) × \frac{4}{5}=\frac{6}{15}$，
$P(X=2)=\frac{2}{3} × \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$，
所以$X$的分布列为
$X$ $0$ $1$ $2$
$P$ $\frac{1}{15}$ $\frac{6}{15}$ $\frac{8}{15}$
所以$E(X)=0 × \frac{1}{15}+1 × \frac{6}{15}+2 × \frac{8}{15}$
$=\frac{22}{15}$，$D(X)=\frac{1}{15} × (0-\frac{22}{15})^2+\frac{6}{15} × (1-\frac{22}{15})^2+\frac{8}{15} × (2-\frac{22}{15})^2=\frac{86}{225}$。

4.[2025·山东菏泽高二检测][多选题]若随机变量$X$服从两点分布，其中$P(X = 0)=\frac{1}{3}$,$E(X),D(X)$分别为随机变量$X$的均值与方差，则()

A.$P(X = 1)=E(X)$
B.$E(3X + 2)=4$
C.$D(3X + 2)=2$
D.$D(X)=\frac{4}{9}$

答案： question:4.[2025·山东菏泽高二检测][多选题]若随机变量$X$服从两点分布，其中$P(X = 0)=\frac{1}{3}$,$E(X),D(X)$分别为随机变量$X$的均值与方差，则(

ABC

)
A.$P(X = 1)=E(X)$
B.$E(3X + 2)=4$
C.$D(3X + 2)=2$
D.$D(X)=\frac{4}{9}$
answer:4.$ABC$ 解析：因为随机变量$X$服从
两点分布，$P(X=0)=\frac{1}{3}$，
所以$P(X=1)=1-P(X=0)$
$=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，
$E(X)=0 × \frac{1}{3}+1 × \frac{2}{3}=\frac{2}{3}$，A正确；
$E(3X+2)=3E(X)+2=3 × \frac{2}{3}+2=4$，
B正确；
$D(X)=\frac{2}{3} × (1-\frac{2}{3})=\frac{2}{9}$，$D(3X+2)=$
$3^2D(X)=3^2 × \frac{2}{9}=2$，C正确，D错误.

5.[2025·青岛高二检测]袋中有大小相同的四个球，编号分别为$1,2,3,4$，每次从袋中任取一个球，记下其编号.若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为$3$后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球.
(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率；
(2)若第一次所取球的编号为偶数，记第二次和第一次所取球的编号之和为$X$，求$X$的分布列和方差.

答案： 5.解：
(1)记“第二次取球后才停止取球”
为事件$A$.
易知第一次取到偶数球的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
第二次取球时袋中有三个奇数，
所以第二次取到奇数球的概率为$\frac{3}{4}$，
而这两次取球相互独立，
所以$P(A)=\frac{1}{2} × \frac{3}{4}=\frac{3}{8}$。
(2)若第一次所取球的编号为$2$，则第二
次取球时袋中有编号为$1,3,3,4$的四
个球；
若第一次所取球的编号为$4$，则第二
次取球时袋中有编号为$1,2,3,3$的四
个球.
所以$X$的可能取值为$3,5,6,7$.
则$P(X=3)=\frac{1}{2} × \frac{1}{4}=\frac{1}{8}$，
$P(X=5)=\frac{1}{2} × \frac{2}{4}+\frac{1}{2} × \frac{1}{4}=\frac{3}{8}$，
$P(X=6)=\frac{1}{2} × \frac{1}{4}+\frac{1}{2} × \frac{1}{4}=\frac{1}{4}$，
$P(X=7)=\frac{1}{2} × \frac{2}{4}=\frac{1}{4}$，
所以$X$的分布列为
$X$ $3$ $5$ $6$ $7$
$P$ $\frac{1}{8}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$
$E(X)=3 × \frac{1}{8}+5 × \frac{3}{8}+6 × \frac{1}{4}+7 × \frac{1}{4}$
$=\frac{11}{2}$，
$D(X)=(3-\frac{11}{2})^2 × \frac{1}{8}+(5-\frac{11}{2})^2 × \frac{3}{8}+$
$(6-\frac{11}{2})^2 × \frac{1}{4}+(7-\frac{11}{2})^2 × \frac{1}{4}=\frac{3}{2}$。

6.某中学举办知识竞赛，采用抽题问答形式.设抽题盒中有$a$道简单题，$b$道中等题，$c$道难题，且规定：抽中简单题并回答正确得$1$分，抽中中等题并回答正确得$2$分，抽中难题并回答正确得$3$分.现在从盒子中取出$1$道题并回答正确，记所得分为$X$.若$E(X)=\frac{3}{2},D(X)=\frac{1}{2}$，则$a:b:c=$ ()

A.$4:1:1$
B.$5:2:1$
C.$6:3:1$
D.$6:3:2$

答案： question:6.某中学举办知识竞赛，采用抽题问答形式.设抽题盒中有$a$道简单题，$b$道中等题，$c$道难题，且规定：抽中简单题并回答正确得$1$分，抽中中等题并回答正确得$2$分，抽中难题并回答正确得$3$分.现在从盒子中取出$1$道题并回答正确，记所得分为$X$.若$E(X)=\frac{3}{2},D(X)=\frac{1}{2}$，则$a:b:c=$ (

B

)
A.$4:1:1$
B.$5:2:1$
C.$6:3:1$
D.$6:3:2$
answer:6.B 解析：根据题意，$X$的可能取值为
$1,2,3$，对应的概率分别为
$P(X=1)=\frac{a}{a+b+c}$，
$P(X=2)=\frac{b}{a+b+c}$，
$P(X=3)=\frac{c}{a+b+c}$
故$X$的分布列为
$X$ $1$ $2$ $3$
$P$ $\frac{a}{a+b+c}$ $\frac{b}{a+b+c}$ $\frac{c}{a+b+c}$
所以$E(X)=\frac{a+2b+3c}{a+b+c}=\frac{3}{2}$，
$D(X)=\frac{1}{4} · \frac{a}{a+b+c}+\frac{1}{4} · \frac{b}{a+b+c}+$
$\frac{9}{4} · \frac{c}{a+b+c}=\frac{1}{2}$，
所以$a=b+3c$，$7c=a+b$，
所以$b=2c$，$a=5c$，
故$a:b:c=5:2:1$。

7.设$\frac{1}{2}＜p＜1$,相互独立的两个随机变量$X,Y$的分布列分别如下：
$X$
$-1$
$1$
$P$
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{3}$
$Y$
$-1$
$1$
$P$
$1 - p$
$p$
则当$p$在$(\frac{1}{2},1)$内逐渐增大时，()

A.$E(X + Y)$逐渐减小，$D(X + Y)$逐渐增大
B.$E(X + Y)$逐渐减小，$D(X + Y)$逐渐减小
C.$E(X + Y)$逐渐增大，$D(X + Y)$逐渐增大
D.$E(X + Y)$逐渐增大，$D(X + Y)$逐渐减小

答案： question:7.设$\frac{1}{2}＜p＜1$,相互独立的两个随机变量$X,Y$的分布列分别如下：
$X$
$-1$
$1$
$P$
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{3}$
$Y$
$-1$
$1$
$P$
$1 - p$
$p$
则当$p$在$(\frac{1}{2},1)$内逐渐增大时，(

D

)
A.$E(X + Y)$逐渐减小，$D(X + Y)$逐渐增大
B.$E(X + Y)$逐渐减小，$D(X + Y)$逐渐减小
C.$E(X + Y)$逐渐增大，$D(X + Y)$逐渐增大
D.$E(X + Y)$逐渐增大，$D(X + Y)$逐渐减小
answer:7.D 解析：由题意可知，$\frac{1}{2}＜p＜1$，$E(X)$
$=-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$，$E(Y)=p-1+p=$
$2p-1$，$E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2p-\frac{4}{3}$；
$D(X)=(-1+\frac{1}{3})^2 × \frac{2}{3}+(1+\frac{1}{3})^2 × \frac{1}{3}$
$=\frac{8}{9}$，$D(Y)=(-2p)^2(1-p)+(2-2p)^2p$
$=4p-4p^2$，$D(X+Y)=D(X)+D(Y)=$
$4p-4p^2+\frac{8}{9}=-4(p-\frac{1}{2})^2+\frac{17}{9}$。
所以当$p$在$(\frac{1}{2},1)$内逐渐增大时，$E(X+Y)$逐渐增大，$D(X+Y)$逐渐减小.

8.[2025·南京高二检测][多选题]已知集合$A = B = \{1,2,3\}$，分别从集合$A,B$中随机取一个数，用$X$表示两数之和，$X$的均值和方差分别为$E(X),D(X)$，则()

A.$P(X = 4)=2P(X = 2)$
B.$P(3\leq X\leq5)=\frac{7}{9}$
C.$E(X)=4$
D.$D(X)=\frac{4}{3}$

答案： question:8.[2025·南京高二检测][多选题]已知集合$A = B = \{1,2,3\}$，分别从集合$A,B$中随机取一个数，用$X$表示两数之和，$X$的均值和方差分别为$E(X),D(X)$，则(

BCD

)
A.$P(X = 4)=2P(X = 2)$
B.$P(3\leq X\leq5)=\frac{7}{9}$
C.$E(X)=4$
D.$D(X)=\frac{4}{3}$
answer:8.$BCD$ 解析：$X$的可能取值为$2,3,4$,
$5,6$，且$P(X=2)=\frac{2}{9}$，$P(X=3)=\frac{2}{9}$，
$P(X=4)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$P(X=5)=\frac{2}{9}$，
$P(X=6)=\frac{1}{9}$.
故$P(X=4)=3P(X=2)$，A不正确；
$P(3 \leq X \leq 5)=\frac{2}{9}+\frac{1}{3}+\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$，B正确；
$E(X)=2 × \frac{1}{9}+3 × \frac{2}{9}+4 × \frac{1}{3}+5 × \frac{2}{9}+6 × \frac{1}{9}=\frac{36}{9}=4$，C正确；
$D(X)=(2-4)^2 × \frac{1}{9}+(3-4)^2 × \frac{2}{9}+(4-4)^2 × \frac{1}{3}+(5-4)^2 × \frac{2}{9}+(6-4)^2 × \frac{1}{9}=\frac{4}{3}$，D正确.

9.[2025·江苏徐州高二检测]随机变量$X$的分布列如下，则$D(5X + E(X))=$.
$X$
$0$
$1$
$2$
$P$
$0.4$
$0.2$
$a$

答案： question:9.[2025·江苏徐州高二检测]随机变量$X$的分布列如下，则$D(5X + E(X))=$

20

.
$X$
$0$
$1$
$2$
$P$
$0.4$
$0.2$
$a$
answer:9.20 解析：由$0.4+0.2+a=1$，得$a=$
$0.4$，所以$E(X)=1 × 0.2+2 × 0.4=1$，
$D(X)=(0-1)^2 × 0.4+(1-1)^2 × 0.2+(2-1)^2 × 0.4=0.8$，$D(5X+E(X))=D(5X+1)$
$=25D(X)=25 × 0.8=20$。

10.[2024·辽宁丹东高二检测]已知$A,B$两个投资项目的利润率分别为随机变量$X_1$和$X_2$.根据市场分析，$X_1$和$X_2$的分布列如下.
$X_1$
$5\%$
$10\%$
$P$
$0.8$

$0.2$
$X_2$
$2\%$
$8\%$
$12\%$
$P$
$0.2$
$0.5$
$0.3$
(1)在$A,B$两个项目上各投资$100$万元，$Y_1$和$Y_2$分别表示投资项目$A$和$B$所获得的利润，求$D(Y_1)$和$D(Y_2)$.
(2)用$x(0\leq x\leq100)$万元投资$A$项目，$(100 - x)$万元投资$B$项目，$f(x)$表示投资$A$项目所得利润的方差与投资$B$项目所得利润的方差之和，求$f(x)$的最小值，并求出此时$x$的值.

答案： 10.解：
(1)由题意知$Y_1$和$Y_2$的分布列为
$Y_1$ $5$ $10$
$P$ $0.8$ $0.2$
$Y_2$ $2$ $8$ $12$
$P$ $0.2$ $0.5$ $0.3$
则$E(Y_1)=5 × 0.8+10 × 0.2=6$，
$D(Y_1)=(5-6)^2 × 0.8+(10-6)^2 × 0.2=4$。
$E(Y_2)=2 × 0.2+8 × 0.5+12 × 0.3=8$，
$D(Y_2)=(2-8)^2 × 0.2+(8-8)^2 × 0.5+(12-8)^2 × 0.3=12$。
(2)$f(x)=D(\frac{x}{100}Y_1)+D(\frac{100-x}{100}Y_2)$
$=(\frac{x}{100})^2D(Y_1)+(\frac{100-x}{100})^2D(Y_2)$
$=\frac{4}{100^2}[x^2+3(100-x)^2]$
$=\frac{4}{100^2}(4x^2-600x+3 × 100^2)$。
当$x=75$时，$f(x)$取得最小值，最小
值为$3$。