《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

示例 设某人群中男人和女人的人数相等，已知男人中患色盲症的概率为$5\%$，女人中患色盲症的概率为$0.25\%$，若随机抽取一人患有色盲症，则此人为男人的概率是()

A.$\frac{10}{11}$
B.$\frac{20}{21}$
C.$\frac{11}{21}$
D.$\frac{1}{12}$

答案： B

例1 已知甲袋中有3个白球,2个黑球,乙袋中有4个白球,4个黑球(球除颜色外完全相同),现从甲袋中任取2个球放入乙袋,再从乙袋中任取1球,则此球为白球的概率为.

答案： 记$A_{i}$表示“从甲袋中取出的2个球中有$i$个白球”，其中$i = 0,1,2$，记$B$表示“从乙袋中取到的1个球为白球”。
$P(A_{0}) = \frac{C_{2}^{2}}{C_{5}^{2}} = \frac{1}{10}$，
$P(B|A_{0}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$，
$P(A_{1}) = \frac{C_{3}^{1}C_{2}^{1}}{C_{5}^{2}} = \frac{3 × 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$，
$P(B|A_{1}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$，
$P(A_{2}) = \frac{C_{3}^{2}}{C_{5}^{2}} = \frac{3}{10}$，
$P(B|A_{2}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$，
利用全概率公式，有：
$P(B) = P(A_{0})P(B|A_{0}) + P(A_{1})P(B|A_{1}) + P(A_{2})P(B|A_{2})$
$= \frac{1}{10} × \frac{2}{5} + \frac{3}{5} × \frac{1}{2} + \frac{3}{10} × \frac{3}{5}$
$= \frac{2}{50} + \frac{15}{50} + \frac{9}{50}$
$= \frac{26}{50}$
$= \frac{13}{25}$
故答案为：$\frac{13}{25}$。

例2 假设某市场供应的智能手机中,市场占有率和优质率的信息如下表所示.

在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率

答案： 解：设事件$A_1$表示“买到的智能手机为甲品牌”，事件$A_2$表示“买到的智能手机为乙品牌”，事件$A_3$表示“买到的智能手机为其他品牌”，事件$B$表示“买到的是优质品”。
已知$P(A_1)=50\% = 0.5$，$P(A_2)=30\% = 0.3$，$P(A_3)=20\% = 0.2$；$P(B|A_1)=95\% = 0.95$，$P(B|A_2)=90\% = 0.9$，$P(B|A_3)=70\% = 0.7$。
由全概率公式$P(B)=\sum_{i = 1}^{3}P(A_i)P(B|A_i)$，可得：
$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)$
$=0.5×0.95 + 0.3×0.9 + 0.2×0.7$
$=0.475 + 0.27 + 0.14$
$=0.885$
所以在该市场中任意买一部智能手机，买到的是优质品的概率为$0.885$。

1-1 若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球,乙盒中有$x$个白球($x \in \mathbf{N}$)、3个红球、2个黑球(球除颜色外完全相同),现从甲盒中随机取出1个球放入乙盒,再从乙盒中随机取出1个球,若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于或等于$\frac{5}{12}$,则$x$的最大值为(C)

A.4
B.5
C.6
D.7

答案： 1-1 C 解析：设从甲盒中取出白球、红球、黑球的事件分别为$A_1$，$A_2$，$A_3$，从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为$B$，
则$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)=\frac{2}{5}·\frac{x+1}{x+6}+\frac{2}{5}·\frac{4}{x+6}+\frac{1}{5}·\frac{3}{x+6}=\frac{2x+13}{5(x+6)}\geq\frac{5}{12}$，
解得$x\leq6$，则$x$的最大值为$6$。

1-2 [2025·广东茂名高一检测]已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题,学生小王能完整做对其中的4道题,在剩下的4道题中,有3道题有思路,还有1道题完全没有思路,有思路的题做对的概率为$\frac{3}{4}$,没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案.若小王从这8道题中任选1道,则他做对的概率为$\frac{13}{16}$.

答案： 1-2 $\frac{13}{16}$ 解析：设$A=$“小王从这$8$道题中任选$1$道且做对”，$B=$“选到能完整做对的$4$道题”，$C=$“选到有思路的$3$道题”，$D=$“选到完全没有思路的$1$道题”，则$P(B)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$P(C)=\frac{3}{8}$，$P(D)=\frac{1}{8}$。
由全概率公式可得$P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)+P(D)P(A|D)=\frac{1}{2}×1+\frac{3}{8}×\frac{3}{4}+\frac{1}{8}×\frac{1}{4}=\frac{26}{32}=\frac{13}{16}$。