《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

12.从4种不同的颜色中选出一些颜色给如图7|6−8所示
的3个格子涂色，每个格子涂一种颜色，记事件A为“相邻的2个格子颜色不同”,事件B为“3个格子的颜色均不相同”,赙P(B|A)=$\frac{2}{3}$

答案： 12.$\frac{2}{3}$ 解析：用4种颜色对3个格子涂色，方法种数为$4^{3} = 64$，若相邻2个格子颜色不同，先在中间的格子中任选1种颜色涂色，两边的格子所涂的颜色只需和中间格子所涂的颜色不同即可，
所以“相邻的2个格子颜色不同”的涂色方法种数为$4 × 3^{2} = 36$，则$P(A) = \frac{36}{64} = \frac{9}{16}$。
事件$AB$为“3个格子的颜色均不相同”，
则$P(AB) = \frac{4 × 3 × 2}{64} = \frac{3}{8}$，由条件概率公式可得$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{2}{3}$。

13.几何分布是一种离散型概率分布，定义:在n次伯努利
试验中，试验k次才得到第一次成功的机率，即前(k−1)
次失败，第k次成功的概率，称试验次数k服从几何分布.现甲参加射击考核，甲每次命中的概率为0.68，考核通过的规则为命中即可获得“通过”，故考核通过的射击次数服从几何分布，若每次射击需要一发子弹，则甲至少需要申请4发子弹保证有98%的概率获得“通过”.(参考数据:1g2≈0.3)

答案： 13.4 解析：设甲申请了$n$发子弹，
则能获得“通过”的概率$p = 0.68 + 0.68 × 0.32 + 0.68 × 0.32^{2} + ·s + 0.68 × 0.32^{n - 1} = 1 - 0.32^{n}$，
令$1 - 0.32^{n} \geq 0.98$，即$0.02 \geq 0.32^{n}$，
两边取以10为底的对数得$\lg \frac{2}{100} \geq \lg (0.32^{n})$，
$\lg 2 - 2 \geq n(\lg 32 - 2)$，
$\lg 2 - 2 \geq n(5\lg 2 - 2)$，
$n \geq \frac{\lg 2 - 2}{5\lg 2 - 2} \approx \frac{0.3 - 2}{5 × 0.3 - 2} = \frac{17}{5} = 3.4$，
所以甲至少需要申请4发子弹保证有98%的概率获得“通过”。

14.某种植户对一块地的n(n∈N")个坑进行播种,每个坑
播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为$\frac{1}{2}$,且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.则当n=
5或6, $\frac{5}{16}$时，有3个坑要补播种的概率最大,最大概率为

答案： 14.5或6 $\frac{5}{16}$ 解析：对一个坑而言，
要补播种的概率$p = C_{3}^{0}(\frac{1}{2})^{3} + C_{3}^{1}(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{2}$，
所以补播种坑的数量$X$服从二项分布$B(n,\frac{1}{2})$，则有3个坑要补播种的概率为$C_{3}^{0}(\frac{1}{2})^{3} · (\frac{1}{2})^{n - 3} = C_{n - 1}^{2}(\frac{1}{2})^{n - 1}$，要使$C_{3}^{0}(\frac{1}{2})^{3}$最大，只需$\begin{cases} C_{3}^{0}(\frac{1}{2})^{3} \geq C_{n - 1}^{1}(\frac{1}{2})^{n - 1}, \\ C_{3}^{0}(\frac{1}{2})^{3} \geq C_{n + 1}^{3}(\frac{1}{2})^{n + 1}, \end{cases}$
解得$5 \leq n \leq 6$且$n \in N^{*}$，故$n = 5,6$。
因为$C_{5 - 1}^{2} = C_{4}^{2} = C_{6 - 1}^{2} = C_{5}^{2} = \frac{5 × 4}{2 × 1} = \frac{5}{16}$。
所以当$n - 5$或$n = 6$时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为$\frac{5}{16}$。

15.(13分)随机抽取100名男学生,测得他们的身高(单位:
cm),按照区间[160,165),[165,170),[170,175),[175,
180),[180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图如图7−6−9所示.
(1)求身高在170cm及以上的学生人数.
(2)据统计,身高在[170,175),[175,180),[180,185]时，体重超过70kg的概率分别为$\frac{1}{6}$,$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{2}$.现在从身高在
[170,185]的学生中任选一名学生，估计其体重超过70kg的概率.

答案： 15.解：
(1)由频率分布直方图可知$5 × (0.01 + 0.07 + x + 0.04 + 0.02) = 1$，
解得$x = 0.06$。
身高在170cm及以上的学生人数为$100 × 5 × (0.06 + 0.04 + 0.02) = 60$。
(2)设从身高在$[170,185]$的学生中任选一个身高在$[170,175),[175,180),[180,185]$分别为事件$A_{1},A_{2},A_{3}$，体重超过70kg为事件$B$，则$A_{1},A_{2},A_{3}$两两互斥，且$A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} = \Omega$，
由条件知$P(B|A_{1}) = \frac{1}{6},P(B|A_{2}) = \frac{1}{3},P(B|A_{3}) = \frac{1}{2},P(A_{1}) = \frac{0.3}{0.6} = \frac{1}{2}$，$P(A_{2}) = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3},P(A_{3}) = \frac{0.1}{0.6} = \frac{1}{6}$
由全概率公式可知$P(B) = P(A_{1})P(B|A_{1}) + P(A_{2})P(B|A_{2}) + P(A_{3})P(B|A_{3}) = \frac{1}{2} × \frac{1}{6} + \frac{1}{3} × \frac{1}{3} + \frac{1}{6} × \frac{1}{2} = \frac{5}{18}$。

16.(15分)某校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行
传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都
等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停
地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的
人为第1次触球者,第n次触球者是甲的概率记为P,
即P=1.
(1)求P(直接写出结果即可);
(2)证明:数列{p.−$\frac{1}{4}$为等比数列,并判断第19次与第
20次触球者是甲的概率的大小.

答案： 16.解：
(1)$P_{3} = \frac{1}{3}$
(2)由$P_{n + 1} = P_{n} × 0 + (1 - P_{n}) × \frac{1}{3}$，
得$P_{n + 1} - \frac{1}{4} = - \frac{1}{3}(P_{n} - \frac{1}{4})$。
又$P_{1} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$，所以$\{ P_{n} - \frac{1}{4}\}$是以$\frac{3}{4}$为首项，$-\frac{1}{3}$为公比的等比数列.
所以$P_{n} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} × (-\frac{1}{3})^{n - 1}$，
$P_{n} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} × (-\frac{1}{3})^{n - 1}$。
因为$P_{19} = \frac{3^{17} + 1}{4 × 3^{17}},P_{20} = \frac{3^{18} - 1}{4 × 3^{18}}$，$P_{19} - P_{20} = \frac{3^{17} + 1}{4 × 3^{17}} - \frac{3^{18} - 1}{4 × 3^{18}} = \frac{3^{17} + 1}{4 × 3^{17}} - \frac{3^{17} - \frac{1}{3}}{4 × 3^{17}} = \frac{\frac{4}{3}}{4 × 3^{17}} ＞ 0$，
所以$P_{19} ＞ P_{20}$。

17.(15分)某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其
中有一个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎.游戏
规则如下:抛掷一枚质地均匀的骰子一次,出现3的倍
数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步
骤，当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时
游戏结束.规定:从平地开始，结束时学生位于第8级台
阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智
力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败.
(1)某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第X级台阶，
求X的分布列及数学期望E(X);
(2)甲、乙两位学生参加游戏,求恰有一人获得奖品的概率.

答案： 17.
(1)随机变量$X$的可能取值为6,7,8,9。
由题意得每次掷骰子上两级台阶的概率为$\frac{2}{3}$，上三级台阶的概率为$\frac{1}{3}$，
则$(X - 6) \sim B(3,\frac{1}{3})$，
可得$P(X = 6) = (\frac{2}{3})^{3} = \frac{8}{27}$，
$P(X = 7) = C_{3}^{1} × \frac{1}{3} × (\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$，
$P(X = 8) = C_{3}^{2} × (\frac{1}{3})^{2} × \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$，
$P(X = 9) = (\frac{1}{3})^{3} = \frac{1}{27}$，
所以$X$的分布列为
$X$ 6 7 8 9
$P$ $\frac{8}{27}$ $\frac{4}{9}$ $\frac{2}{9}$ $\frac{1}{27}$
因为$E(X - 6) = 3 × \frac{1}{3} = 1$，
所以$E(X) = 7$。
(2)记甲、乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率为$p$，
由题意知，位于第10级台阶则认定游戏失败，无法获得奖品，
所以投掷3次后，学生站在第7级台阶，
第4次投掷骰子，出现3的倍数，即位于第10级台阶，其概率$p_{1} = C_{3}^{1} × \frac{1}{3} × (\frac{2}{3})^{2} × \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$，
所以$p = C_{2}^{1} × p_{1} × (1 - p_{1}) = 2 × \frac{4}{27} × \frac{23}{27} = \frac{184}{729}$
即甲、乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率为$\frac{184}{729}$。