《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例 4 现有$10$名教师，其中$6$名男教师，$4$名女教师。
(1) 现要从中选$2$名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2) 现要从中选出男、女教师各$2$名去参加会议，有多少种不同的选法？

答案：
(1)
从$10$名教师中选$2$名，选法数为组合数$C_{10}^2$：
$C_{10}^2 = \frac{10 × 9}{2 × 1} = 45$$ 故有$45$种不同的选法。 (2) 从$6$名男教师中选$2$名，选法数为$C_{6}^2$： $C_{6}^2 = \frac{6 × 5}{2 × 1} = 15
从$4$名女教师中选$2$名，选法数为$C_{4}^2$：
$C_{4}^2 = \frac{4 × 3}{2 × 1} = 6$$ 根据分步乘法计数原理，总选法数为： $C_{6}^2 × C_{4}^2 = 15 × 6 = 90
故共有$90$种不同的选法。

例 5 定义非空集合$A$的真子集的真子集为$A$的“孙集”，则集合$A = \{1,3,5,7,9\}$的“孙集”的个数为。

答案： 26

例 6 要从$6$名男生、$4$名女生中选出$5$人参加一项活动。
(1) 有多少种不同的选法？(用数字作答)
(2) 甲当选且乙不当选，有多少种不同的选法？(用数字作答)

答案：
(1)
从$10$人中选$5$人的不同选法总数为：
$C_{10}^{5}=\frac{10!}{5!(10 - 5)!}=\frac{10×9×8×7×6}{5×4×3×2×1}=252$（种）
(2)
甲当选且乙不当选，即从除乙之外的$8$人中选$4$人，不同的选法有：
$C_{8}^{4}=\frac{8!}{4!(8 - 4)!}=\frac{8×7×6×5}{4×3×2×1}=70$（种）
答：
(1)有$252$种不同的选法；
(2)甲当选且乙不当选，有$70$种不同的选法。

例 7 某体育队有男运动员$6$名，女运动员$4$名，其中男、女队长各$1$名。现选派$5$人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1) 男运动员$3$名，女运动员$2$名；
(2) 至少有$1$名女运动员；

答案：
(1) 从6名男运动员中选3名，有$C_{6}^{3}$种选法；从4名女运动员中选2名，有$C_{4}^{2}$种选法。根据分步乘法计数原理，共有选派方法：$C_{6}^{3} × C_{4}^{2} = 20 × 6 = 120$（种）。
(2) 方法一（直接法）：至少有1名女运动员包括以下三种情况：1女4男、2女3男、3女2男、4女1男。
1女4男：$C_{4}^{1} × C_{6}^{4} = 4 × 15 = 60$（种）
2女3男：$C_{4}^{2} × C_{6}^{3} = 6 × 20 = 120$（种）
3女2男：$C_{4}^{3} × C_{6}^{2} = 4 × 15 = 60$（种）
4女1男：$C_{4}^{4} × C_{6}^{1} = 1 × 6 = 6$（种）
根据分类加法计数原理，共有选派方法：$60 + 120 + 60 + 6 = 246$（种）。
方法二（间接法）：从10名运动员中任选5人，有$C_{10}^{5}$种选法；其中全是男运动员的选法有$C_{6}^{5}$种。所以至少有1名女运动员的选派方法有：$C_{10}^{5} - C_{6}^{5} = 252 - 6 = 246$（种）。
(1) 120种；
(2) 246种。

1 - 4 若$A_{n}^{4}=C_{n}^{n - 2}· A_{4}^{3}，$则正整数n = (C) )

A.4
B.5
C.6
D.7

答案： 1-4 C 解析：因为$A_n^4 = C_{n - 2}^2 · A_4^4$，
所以$n(n - 1)(n - 2)(n - 3) = \frac{n(n - 1)}{2} × 4 × 3 × 2$，
解得$n = -1$(舍去)或$n = 6$。

1 - 5 求关于n的不等式$7C_{n}^{4}\gt5C_{n}^{6}$的解集。

答案： 1-5 解：原不等式等价于$\frac{7 × n!}{(n - 4)! × 4!} ＞\frac{5 × n!}{(n - 6)! × 6!}$，即$(n - 4)(n - 5) ＜ 42$，
解得$-2 ＜ n ＜ 11$。
又$n \geq 6$，且$n \in N^*$，
所以原不等式的解集为$\{6, 7, 8, 9, 10\}$。

2 - 1 $5$个相同的球，放入$8$个不同的盒子里，每个盒里至放一个球，则不同的放法有(B)

A.$A_{8}^{5}$种
B.$C_{8}^{5}$种
C.$5^{8}$种
D.$8^{5}$种

答案： 2-1 B 解析：因为球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，
所以只要选出5个不同的盒子即可。
故共有$C_8^5$种不同的放法。

2 - 2 袋子中有$4$个大小质地完全相同的球，其中$3$个红球，$1$个黄球，从中随机抽取$2$个球，则抽取的$2$个球恰好是$1$个红球、$1$个黄球的概率是(B)

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$1$

答案： 2-2 B 解析：从有4个大小质地完全相同的球的袋子中随机抽取2个球有$C_4^2 = 6$种情况，抽取的2个球恰好是1个红球、1个黄球有$C_1^1C_3^1 = 3$种情况，
所以抽取的2个球恰好是1个红球、1个黄球的概率是$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。

2 - 3 某班级要从$4$名男生、$2$名女生中选派$4$人参加某次社区服务，要求必须含有女生，那么不同的选派方案种数为(D)

A.$32$
B.$28$
C.$24$
D.$14$

答案： 2-3 D 解析：(方法1 直接法)若女生有1人，则有$C_4^3C_2^1 = 8$种；
若女生有2人，则有$C_4^2C_2^2 = 6$种，共14种不同的选派方案。
(方法2 间接法)从4名男生、2名女生中选派4人，共有$C_6^4$种选法，
若全为男生，有$C_4^4$种选法，
所以必须含有女生的不同选派方案种数为$C_6^4 - C_4^4 = 14$。