《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

1 二项式系数的和
例4 已知$( 2 x ^ { 3 } - \frac { \sqrt { 3 } } { x } ) ^ { n } ( n \in N ^ { * } )$展开式的二项式系数之和为32，则展开式中$x^7$的系数为

答案： 答题卡：
由二项式定理，二项式$(a+b)^n$的二项式系数之和为$2^n$。
根据题意，有$2^n = 32$，解得$n = 5$。
二项式$( 2 x ^ { 3 } - \frac { \sqrt { 3 } } { x } ) ^ { 5 }$展开式的通项公式为：
$T_{k + 1} = C_{5}^{k} · (2x^{3})^{5 - k} · \left( - \frac{\sqrt{3}}{x} \right)^{k}$
$= ( - \sqrt{3} )^{k} · 2^{5 - k} · C_{5}^{k} · x^{15 - 4k}$
为了找到$x^7$的系数，需要令$15 - 4k = 7$，解得$k = 2$。
将$k = 2$代入通项公式，得到$x^7$的系数为：
$( - \sqrt{3} )^{2} · 2^{5 - 2} · C_{5}^{2} = 3 × 8 × 10 = 240$
所以，$x^7$的系数为$240$。

2 展开式系数的和
例5 若$( 2 x + \sqrt { 3 } ) ^ { 4 } = a$${ 0 } + a$${ 1 } x + a$${ 2 } x ^ { 2 } + a$${ 3 } x ^ { 3 } + a$${ 4 } x ^ { 4 }$.
(1)求$a$${ 1 } + a$${ 2 } + a$${ 3 } + a$${ 4 }$的值;
(2)求$( a$${ 0 } + a$${ 2 } + a$${ 4 } ) ^ { 2 } - ( a$${ 1 } + a$${ 3 } ) ^ { 2 }$的值.

答案：
(1)$88 + 56\sqrt{3}$
(2)$1$

例6 已知$( 3 x - 1 ) ^ { 7 } = a$${ 0 } x ^ { 7 } + a$${ 1 } x ^ { 6 } + a$${ 2 } x ^ { 5 } + a$${ 3 } x ^ { 4 } + a$${ 4 } x ^ { 3 } + a$${ 5 } x ^ { 2 } + a$${ 6 } x + a$${ 7 }$
(1)求$\vert a_0\vert+\vert a_1\vert+\vert a_2\vert+\vert a_3\vert+\vert a_4\vert+\vert a_5\vert+\vert a_6\vert+\vert a_7\vert$的值;
(2)求$a$${ 1 } + a$${ 3 } + a$${ 5 } + a$${ 7 }$的值.

答案：
(1)$4^{7}$；
(2)$-8128$。