《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例3 [2021·新高考Ⅰ卷]有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(B)
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立

答案： B

例4 [2025·上海卷]已知事件$A$，$B$相互独立，事件$A$发生的概率$P(A) = \frac{1}{2}$，事件$B$发生的概率$P(B) = \frac{1}{2}$，则事件$A \cap B$发生的概率$P(A \cap B)$为(B)
A.$\frac{1}{8}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.0

答案： B

1-2 [2022·新高考Ⅰ卷第20题节选]
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：

从该地的人群中任选一人，$A$表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，$B$表示事件“选到的人患有该疾病”，$\frac{P(B|A)}{P(\overline{B}|A)}$与$\frac{P(B|\overline{A})}{P(\overline{B}|\overline{A})}$的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为$R$.
(1)证明：$R = \frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)} · \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}$；
(2)利用该调查数据，给出$P(A|B),P(A|\overline{B})$的估计值，并利用(1)的结果给出$R$的估计值.

答案：
(1)证明：由题意知，
P(B|A)
R=$\frac{P(B|A)}{P(B|A)}=\frac{P(B|A)· P(\bar{B}|A)}{P(B|A)· P(\bar{B}|A)}=\frac{P(A|B)· P(\bar{A}|B)}{P(\bar{A}|B)· P(A|\bar{B})}$.
因此，证明$\frac{P(B|A)· P(\bar{B}|A)}{P(\bar{B}|A)· P(\bar{B}|A)}·\frac{P(A|B)· P(\bar{A}|B)}{P(A|\bar{B})· P(A|\bar{B})}$.
左边=$\frac{P(AB)· P(AB)}{P(A)· P(A)}=\frac{P(AB)· P(\bar{A}B)}{P(A)· P(A)}$，
右边=$\frac{P(B)· P(B)}{P(AB)· P(AB)}=\frac{P(AB)· P(\bar{A}B)}{P(AB)· P(AB)}$，
左边=右边，
故R=$\frac{P(A|B)}{P(\underline{A}|B)}·\frac{P(\bar{A}|B)}{P(A|\bar{B})}$.
(2)解：由调查数据可知P(A|B)=
$\frac{40}{100}=\frac{2}{5}$，P(A|$\bar{B}$)=$\frac{10}{100}=\frac{1}{10}$，
且P(A|B)=1-P(A|B)=$\frac{3}{5}$，
P($\bar{A}$|$\bar{B}$)=1-P(A|$\bar{B}$)=$\frac{9}{10}$，
所以R=$\frac{2}{5}×\frac{9}{10}×\frac{10}{1}=6$.

2-1 [2021·天津卷]甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为$\frac{5}{6}$

和

$\frac{1}{5}$，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为$\frac{2}{3}$，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为$\frac{20}{27}$.

答案： $\frac{2}{3}$ $\frac{20}{27}$ 解析：由题意可得一次活动中，甲获胜的概率为$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}=\frac{2}{3}$
则3次活动中，甲至少获胜2次的概率为$C_3^2×(\frac{2}{3})^2×\frac{1}{3}+(\frac{2}{3})^3=\frac{20}{27}$.