《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

考点 全概率公式的应用
例[2023·天津卷]甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球(球除颜色外完全相同),其总数之比为$5:4:6$.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为;将三个盒子中的球混合后任取一个球,是白球的概率为.

答案： 第一问：
设从甲、乙、丙盒子中取到黑球的事件分别为$A$，$B$，$C$，
根据题意：
$P(A)=\frac{2}{5}$，
$P(B)=\frac{1}{4}$，
$P(C)=\frac{1}{2}$，
从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为：
$P(ABC)=P(A)× P(B)× P(C)=\frac{2}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{20}$。
第二问：
设事件$D_1$，$D_2$，$D_3$分别表示取到的球来自甲、乙、丙盒子，事件$E$表示取到的球是白球，
根据题意，三个盒子球数占总数的比例分别为：
$P(D_1)=\frac{5}{5+4+6}=\frac{1}{3}$，
$P(D_2)=\frac{4}{5+4+6}=\frac{4}{15}$，
$P(D_3)=\frac{6}{5+4+6}=\frac{2}{5}$，
各盒子中白球的概率分别为：
$P(E|D_1)=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$，
$P(E|D_2)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
$P(E|D_3)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
利用全概率公式，取到白球的概率为：
$P(E)=P(D_1)× P(E|D_1)+P(D_2)× P(E|D_2)+P(D_3)× P(E|D_3)$
$=\frac{1}{3}×\frac{3}{5}+\frac{4}{15}×\frac{3}{4}+\frac{2}{5}×\frac{1}{2}$
$=\frac{3}{5}$
故答案为：$\frac{1}{20}$；$\frac{3}{5}$。

教材第50页例4
某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.

答案： 设“王同学第1天去A餐厅用餐”为事件$E$，“王同学第1天去B餐厅用餐”为事件$\overline{E}$，“王同学第2天去A餐厅用餐”为事件$F$。
由题意知：
$P(E) = 0.5$，
$P(\overline{E}) = 0.5$，
$P(F|E) = 0.6$，
$P(F|\overline{E}) = 0.8$。
根据全概率公式，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为：
$P(F) = P(E)P(F|E) + P(\overline{E})P(F|\overline{E})$
$= 0.5 × 0.6 + 0.5 × 0.8$
$= 0.3 + 0.4$
$= 0.7$
所以王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7。

1-1 [2023·新课标Ⅰ卷第21题改编]
甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,
规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5,则第2次投篮的人是乙的概率为0.6.

答案： 1-1 $0.6$ 解析：记$A=$“第$2$次投篮的人是乙”，$B=$“第$1$次投篮的人是甲”，则$A = BA+\overline{B}A$，
所以$P(A)=P(BA)+P(\overline{B}A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})=0.5×(1 - 0.6)+0.5×0.8=0.6$。