《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例7 春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图，如图7-5-10.其中时间段9：20~9：40记作$[20,40)$，9：40~10：00记作$[40,60)$，10：00~10：20记作$[60,80)$，10：20~10：40记作$[80,100]$，例如：10点04分，记作时刻64.

(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)为了对数据进行分析，现采用分层随机抽样的方法(样本按比例分配)从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记$X$为9：20~10：00之间通过的车辆数，求$X$的分布列与数学期望；
(3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻$T$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，其中$\mu$可用这600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，$\sigma^2$可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数(结果保留整数).

答案： 解：
(1)$\mu = 64$。
(2)$X$的分布列略，$E(X)=\frac{8}{5}$。
(3)$\sigma = 18$，$P(46\leq T\leq100)\approx0.8186$，车辆数约为$819$。