《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例5 将$4$名医生与$4$名护士分配到$4$个不同的单位，每个单位分配$1$名医生与$1$名护士，共有多少种不同的分配方案？

答案： 576种

1. 在与不在问题
例6 $4$名男同学和$3$名女同学站成一排照相，计算下列情况各有多少种不同的站法.
(1)男生甲必须站在两端.
(2)女生乙不站在两端，且女生丙不站在正中间.
(3)男生甲不站在排头，女生乙不站在排尾.

答案：
(1)1440种
(2)3120种
(3)3720种

2 - 1 将$3$张不同的电影票全部分给$10$个人，每人至多$1$张，则不同的分法种数是(D)
A.$1260$
B.$120$
C.$240$
D.$720$

答案： @@D 解析：由题设，相当于3个元素排10个位置，有$A_{10}^{3} = 720$种不同的分法.

2 - 2 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面旗，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示15种不同的信号.

答案： @@15 解析：分三类完成：
第1类，挂1面旗，可以表示$A_{3}^{1}$种不同的信号；
第2类，挂2面旗，可以表示$A_{3}^{2}$种不同的信号；
第3类，挂3面旗，可以表示$A_{3}^{3}$种不同的信号.
根据分类加法计数原理，可以表示的不同信号共有$A_{3}^{1} + A_{3}^{2} + A_{3}^{3} = 3 + 3 × 2 + 3 × 2 × 1 = 15$种.

3 - 1 [2025·山东淄博高二检测]中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为宫、商、角、徵、羽. 如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不在角音阶的同侧，可排成的不同音序的种数为(D)
A.$120$
B.$90$
C.$60$
D.$40$

答案： @@D

3 - 2 六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有(A)
A.$48$种
B.$72$种
C.$90$种
D.$120$种

答案： @@A 解析：由题意得，甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，所以甲、乙两车只能在第二位和第五位，共有$A_{2}^{2}$种排法，其他车辆任意排列，所以总排法有$A_{2}^{2}A_{4}^{4} = 48$种.

3 - 3 将$5$名学生分配到$A$，$B$，$C$，$D$，$E$这$5$个社区参加义务劳动，每个社区分配$1$名学生，且学生甲不能分配到$A$社区，则不同的分配方法种数是(B)
A.$72$
B.$96$
C.$108$
D.$120$

答案： @@B 解析：根据题意，分2步进行分析：
第一步，安排甲，甲不能分配到A社区，则甲有4种分配方法；
第二步，将剩下的4人安排到其余4个社区，有$A_{4}^{4} = 24$种分配方法，
所以共有$4 × 24 = 96$种分配方法.