《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例15 $6$个人站成前后三排，每排$2$人，有多少种不同的站法？.

答案： 解 (方法1 分三排)$6$个人站成前后三排，每排$2$人，分$3$步完成，不同的站法共有$A_{6}^{2}A_{4}^{2}A_{2}^{2}=720$种.
(方法2 直排法)此问题可看作将排成的三排“拉直”，实际上就是将$6$人排成一排的问题.
故共有$A_{6}^{6}=720$种不同的站法

1 - 1 解不等式：$3A_{x}^{3}\leq2A_{x + 1}^{2}+6A_{x}^{2}$.

答案： 解：由题意可知，$x \in N^*$且$x \geq 3$.
因为$A_{x}^{2} = x(x - 1)(x - 2)$，$A_{x + 1}^{2} = (x + 1)x$，$A_{x}^{2} = x(x - 1)$，
所以原不等式可化为$3x(x - 1)(x - 2) \leq 2x(x + 1) + 6x(x - 1)$，
整理得$(3x - 2)(x - 5) \leq 0$，
又$x \in N^*$且$x \geq 3$，
所以$3 \leq x \leq 5$且$x \in N^*$，
所以原不等式的解集为$\{3,4,5\}$.

2 - 1 把$15$人分成前、中、后三排，每排$5$人，则不同的排法种数为(C)

A.$\frac{A_{15}^{15}}{A_{3}^{3}}$
B.$A_{15}^{5}A_{10}^{5}A_{5}^{5}A_{3}^{3}$
C.$A_{15}^{15}$
D.$A_{15}^{5}A_{10}^{5}$

答案： C 解析：（方法1）15个人分成前、中、后三排，每排5人，分3步完成，不同的排法种数为$A_{15}^{5}A_{10}^{5}A_{5}^{5} = 15! = A_{15}^{15}$.
（方法2）此问题可看作将排成的三排“拉直”，实际上就是将15人排成一排的问题，故共有$A_{15}^{15}$种不同的排法.

例1 [2022·新高考Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊$5$名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(B)

A.$12$种
B.$24$种
C.$36$种
D.$48$种

答案： B

例2 [2023·全国乙卷]某学校举办作文比赛，共设$6$个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(A)

A.$\frac{5}{6}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： A

1 - 1 [2023·全国甲卷]现有$5$名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这$5$人中安排$2$人参加公益活动，则恰有$1$人在这两天都参加的不同安排方式共有(B)

A.$120$种
B.$60$种
C.$30$种
D.$20$种

答案： B 解析：每天从这5人中安排2人且恰有1人在这两天都参加公益活动，可分两个步骤：
第1步，先在5名志愿者中安排1名在这两天都参加公益活动，有5种安排方法；
第2步，再在这两天从剩下的4名志愿者中各安排1名不同的志愿者参加公益活动（可看作从4个不同元素中取出2个元素的排列），有$A_{4}^{2} = 12$种安排方法.
根据分步乘法计数原理，恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有$5 × 12 = 60$种.

2 - 1 [全国Ⅲ卷]两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(D)

A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： D 解析：将四位同学进行全排列，有$A_{4}^{4}$种排列方法.
把两位女同学看作一个整体，与另外两个男同学进行排列，有$A_{3}^{3}$种排列方法，
对女同学“内部”进行排列，有$A_{2}^{2}$种排列方法，则所求概率为$\frac{A_{2}^{2}A_{3}^{3}}{A_{4}^{4}} = \frac{1}{2}$.