《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例5 $A,B,C,D,E$五个元素排成一列,要求$A$在$B$的前面且$D$在$E$的前面,不同的排法种数为.

答案： 五个不同元素 $A, B, C, D, E$ 的全排列数为 $A_5^5 = 5! = 120$（种），
$A$ 和 $B$ 的相对顺序有 $A_2^2 = 2$（种） 可能性（$A$ 在 $B$ 前面或 $B$ 在 $A$ 前面），
$D$ 和 $E$ 的相对顺序有 $A_2^2 = 2$（种） 可能性（$D$ 在 $E$ 前面或 $E$ 在 $D$ 前面），
由于 $A$ 必须在 $B$ 前面，且 $D$ 必须在 $E$ 前面，因此有效的排列数为全排列数除以 $A$ 和 $B$ 以及 $D$ 和 $E$ 的排列数：
$\frac{A_5^5}{A_2^2 × A_2^2} = \frac{120}{2 × 2} = 30$（种）。
故答案为30。

例6 (1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数为()
A. 36
B. 120
C. 720
D. 1440
(2)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素排在前排,某1个元素排在后排,不同的排法有种.

答案：
(1)
因特（这里可理解为问题聚焦于排列顺序问题，按排列数计算思路）殊（此字为多余，可忽略原表述思路引导，直接按规范步骤作答）6个不同元素排前后两排每排3个元素，可等价于6个不同元素排成一排，其排列方法数为$A_{6}^6=\frac{6!}{(6 - 6)!}=720$种。
答案：C
(2)
第一步排某2个元素在前排四个位置，排法有$A_{4}^2=\frac{4!}{(4 - 2)!}=12$种；
第二步排某1个元素在后排四个位置，排法有$A_{4}^1=\frac{4!}{(4 - 1)!}=4$种；
第三步排其余5个元素在剩余5个位置，排法有$A_{5}^5=\frac{5!}{(5 - 5)!}=120$种。
根据分步乘法计数原理，共有$A_{4}^2A_{4}^1A_{5}^5=12×4×120 = 5760$种。
答案：5760

例7 5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,不同站法有种.

答案： 答题卡作答：
先考虑5对姐妹的排列情况。
将每对姐妹看作一个整体（捆绑），则5个整体的圆排列方式有$(5 - 1)! = 24$种。
每对姐妹两人之间的排列有$A_2^2 = 2$种方式，5对姐妹共有$(A_2^2)^5 = 2^5 = 32$种方式。
根据分步乘法计数原理，不同的安排方式共有$24 × 32 = 768$种。
故答案为：768。

例8 仅使用2,3两个数字,可以组成不同的五位数共有个.

答案： $32$。

例9 从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为()

A.48
B.72
C.90
D.96

答案： D