《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例1 潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象.根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中，每天出现大潮的概率均为$\frac{2}{3}$，则该地在该季节的任意连续三天内：
(1)恰有一天出现大潮的概率.
(2)至少有两天出现大潮的概率.

答案： 解：
设事件$A$为“出现大潮”，则$P(A) = \frac{2}{3}$，用$X$表示事件$A$在三天内发生的次数，则$X$服从参数为$n = 3, p = \frac{2}{3}$的二项分布，即$X \sim B(3, \frac{2}{3})$。
(1) 恰有一天出现大潮的概率等价于$P(X = 1)$，根据二项分布的概率公式，有
$P(X = 1) = C_{3}^{1} × \frac{2}{3} × \left(1 - \frac{2}{3}\right)^{2} = 3 × \frac{2}{3} × \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{2}{9} × 3 × \frac{1}{3}（这里3和分母的一个3约掉） = \frac{2}{9} × 1（或直接计算出\frac{6}{27}化简为\frac{2}{9}）$。
(2) 至少有两天出现大潮的概率等价于$P(X \geq 2)$，根据二项分布的概率公式，有
$P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = C_{3}^{2} × \left(\frac{2}{3}\right)^{2} × \frac{1}{3} + C_{3}^{3} × \left(\frac{2}{3}\right)^{3} = 3 × \frac{4}{9} × \frac{1}{3} + 1 × \frac{8}{27} = \frac{12}{27} + \frac{8}{27} = \frac{20}{27}$。

例2 某校高一年级为更好地促进班级工作的开展，在第一学期就将所有班级按一定标准两两分为一组.规定：若同一组的两个班级在本学期的期中、期末两次考试中成绩优秀的次数相等，而且都不少于一次，则称该组为“最佳搭档”.已知甲、乙两个班级在同一组，甲班每次考试成绩优秀的概率都是$\frac{1}{2}$，乙班每次考试成绩优秀的概率都是$\frac{2}{3}$，每次考试成绩相互独立，互不影响.
(1)求在本学期中，在甲班两次考试成绩优秀的条件下，该组荣获“最佳搭档”的概率.
(2)设在高一、高二四个学期中该组荣获“最佳搭档”的次数为$X$，求随机变量$X$的分布列.

答案：
(1)
设“甲班两次考试成绩优秀”为事件$A$，“该组荣获‘最佳搭档’”为事件$B$。
$P(A)=(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$。
当甲班两次考试成绩优秀时，要成为“最佳搭档”，乙班也得两次成绩优秀，$P(AB)=(\frac{1}{2})^2×(\frac{2}{3})^2=\frac{1}{9}$。
根据条件概率公式$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$，可得$P(B|A)=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{4}}=\frac{4}{9}$。
(2)
每个学期中，甲、乙两个班成绩优秀次数相等且都不少于一次有两种情况：
情况一：甲、乙都优秀一次，其概率为$C_{2}^{1}×\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{2})× C_{2}^{1}×\frac{2}{3}×(1 - \frac{2}{3})=\frac{2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}}=\frac{2}{9}$（这里原解答$C_{2}^{2}$有误，应为$C_{2}^{1}$）。
情况二：甲、乙都优秀两次，其概率为$(\frac{1}{2})^2×(\frac{2}{3})^2=\frac{1}{4}×\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$。
所以每个学期中，该组荣获“最佳搭档”的概率$p=\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}$。
已知在四个学期中该组荣获“最佳搭档”的次数为$X$，则$X\sim B(4,\frac{1}{3})$。
$P(X = k)=C_{4}^{k}×(\frac{1}{3})^k×(1 - \frac{1}{3})^{4 - k}=C_{4}^{k}×(\frac{1}{3})^k×(\frac{2}{3})^{4 - k}$，$k = 0,1,2,3,4$。
$P(X = 0)=C_{4}^{0}×(\frac{1}{3})^0×(\frac{2}{3})^4=\frac{16}{81}$。
$P(X = 1)=C_{4}^{1}×(\frac{1}{3})^1×(\frac{2}{3})^3=\frac{32}{81}$。
$P(X = 2)=C_{4}^{2}×(\frac{1}{3})^2×(\frac{2}{3})^2=\frac{24}{81}=\frac{8}{27}$。
$P(X = 3)=C_{4}^{3}×(\frac{1}{3})^3×(\frac{2}{3})^1=\frac{8}{81}$。
$P(X = 4)=C_{4}^{4}×(\frac{1}{3})^4×(\frac{2}{3})^0=\frac{1}{81}$。
随机变量$X$的分布列为：
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| -- | -- | -- | -- | -- | -- |
| $P$ | $\frac{16}{81}$ | $\frac{32}{81}$ | $\frac{8}{27}$ | $\frac{8}{81}$ | $\frac{1}{81}$ |

1-1 [2025·青岛高二检测]元宵节是中国的传统节日，某班级准备进行“元宵福气到”的抽奖活动.福袋中装有标号分别为$1$，$2$，$3$，$4$，$5$的五个相同的小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是$3$的倍数，则获奖.若有$5$名同学参与此次活动，则恰好$3$人获奖的概率是(C)

A.$\frac{72}{625}$
B.$\frac{108}{625}$
C.$\frac{144}{625}$
D.$\frac{216}{625}$

答案： C 解析：每次抽奖，样本点总数为$C_{5}^{3}=10$，获奖的样本点有$(1,2,3)$，$(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5)$，共4个，所以获奖的概率为$p=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。
设5人中获奖人数为$X$，则$X\sim B\left(5,\frac{2}{5}\right)$，
所以$P(X=3)=C_{5}^{3}\left(\frac{2}{5}\right)^{3}\left(1-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{144}{625}$。