《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例4 从①采用不放回抽取，②采用有放回抽取这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中.

问题：一个盒子中有10个大小、质地相同，颜色不同的小球，其中3个黑球，7个白球.若_，从这10个球中随机抽取3个，求

取出的3个球中黑球的个数X的分布列和期望.

答案： 选择条件①：
由题意知，$X$服从参数为$N = 10$，$M = 3$，$n = 3$的超几何分布。
$P(X = k) = \frac{C_{3}^{k}C_{7}^{3 - k}}{C_{10}^{3}}$，$k = 0,1,2,3$。
$P(X = 0) = \frac{C_{3}^{0}C_{7}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{7}{24}$，
$P(X = 1) = \frac{C_{3}^{1}C_{7}^{2}}{C_{10}^{3}} = \frac{21}{40}$，
$P(X = 2) = \frac{C_{3}^{2}C_{7}^{1}}{C_{10}^{3}} = \frac{7}{40}$，
$P(X = 3) = \frac{C_{3}^{3}C_{7}^{0}}{C_{10}^{3}} = \frac{1}{120}$。
$X$的分布列为：
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{7}{24}$ | $\frac{21}{40}$ | $\frac{7}{40}$ | $\frac{1}{120}$ |
$E(X) = 0 × \frac{7}{24} + 1 × \frac{21}{40} + 2 × \frac{7}{40} + 3 × \frac{1}{120} = \frac{9}{10}$。
选择条件②：
由题意知$X\sim B(3,\frac{3}{10})$。
$P(X = k) = C_{3}^{k} × (\frac{3}{10})^{k} × (1 - \frac{3}{10})^{3 - k}$，$k = 0,1,2,3$。
$P(X = 0) = C_{3}^{0} × (\frac{3}{10})^{0} × (\frac{7}{10})^{3} = \frac{343}{1000}$，
$P(X = 1) = C_{3}^{1} × (\frac{3}{10})^{1} × (\frac{7}{10})^{2} = \frac{441}{1000}$，
$P(X = 2) = C_{3}^{2} × (\frac{3}{10})^{2} × (\frac{7}{10})^{1} = \frac{189}{1000}$，
$P(X = 3) = C_{3}^{3} × (\frac{3}{10})^{3} × (\frac{7}{10})^{0} = \frac{27}{1000}$。
$X$的分布列为：
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{343}{1000}$ | $\frac{441}{1000}$ | $\frac{189}{1000}$ | $\frac{27}{1000}$ |
$E(X) = 3 × \frac{3}{10} = \frac{9}{10}$。

4-1 甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是$\frac{3}{5}$，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道进行测试，只有选中的4道题均答对才能入选.
(1)求甲恰有2道题答对的概率；
(2)求乙答对的题目数$X$的分布列；
(3)试比较甲、乙两人平均答对的题目数的大小.

答案： 4-1 解：
(1)因为在备选的$10$道题中，
甲管对其中每道题的概率都是$\frac{3}{5}$，
所以选中的$4$道题中甲恰有$2$道题答
对的概率$p=C_{4}^{2}(\frac{3}{5})^{2}(\frac{2}{5})^{2}=\frac{216}{625}$.
(2)由题意知，乙答对的题目数$X$的可
能取值为$2$，$3$，$4$，
$P(X=2)=\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}}{C_{10}^{4}}=\frac{28}{210}=\frac{2}{15}$，
$P(X=3)=\frac{C_{6}^{3}C_{4}^{1}}{C_{10}^{4}}=\frac{112}{210}=\frac{8}{15}$，
$P(X=4)=\frac{C_{6}^{4}C_{4}^{0}}{C_{10}^{4}}=\frac{70}{210}=\frac{1}{3}$，
所以$X$的分布列为
$X$ 2 3 4
$P$ $\frac{2}{15}$ $\frac{8}{15}$ $\frac{1}{3}$
(3)由
(2)知，乙平均答对的题目数
$E(X)=2×\frac{2}{15}+3×\frac{8}{15}+4×\frac{1}{3}=\frac{16}{5}$
因为甲答对的题目数$Y\sim B(4,\frac{3}{5})$，
所以甲平均答对的题目数
$E(Y)=4×\frac{3}{5}=\frac{12}{5}$.
因为$E(X)＞E(Y)$，所以甲平均答对的
题目数小于乙平均答对的题目数.

例5 盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品，则不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出的次品数$X$的分布列.

答案： $X$的所有可能取值为0，1，2，3.
$P(X=0)=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$，
$P(X=1)=\frac{3}{12}×\frac{9}{11}=\frac{9}{44}$，
$P(X=2)=\frac{3}{12}×\frac{2}{11}×\frac{9}{10}=\frac{9}{220}$，
$P(X=3)=\frac{3}{12}×\frac{2}{11}×\frac{1}{10}×\frac{9}{9}=\frac{1}{220}$.
分布列为：
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{3}{4}$ | $\frac{9}{44}$ | $\frac{9}{220}$ | $\frac{1}{220}$ |

1-1 某校高一、高二各有3名同学参加志愿者选拔，若每名同学的入选概率都是$\frac{1}{2}$，则入选人数的期望值是3；
若高二同学的入选概率是$\frac{2}{3}$，高一同学的入选概率保持不变，则高一、高二的入选人数相等的概率为$\frac{7}{24}$.

答案： 1-1 $\frac{3}{24}$ 解析：设入选的人数为$x$，
因为高一、高二各有$3$名同学参加志愿
者选拔，每名同学的入选概率都是$\frac{1}{2}$，
所以$X\sim B(6,\frac{1}{2})$，所以入选人数的期望
值是$E(X)=6×\frac{1}{2}=3$.
因为高二同学的入选概率是$\frac{2}{3}$，
高一同学的入选概率是$\frac{1}{2}$，
所以高一、高二的入选人数相等的概率为
$p=C_{3}^{0}×(\frac{1}{2})^{3}× C_{3}^{0}×(\frac{1}{3})^{3}+C_{3}^{1}×$
$(\frac{1}{2})^{3}× C_{3}^{1}×\frac{2}{3}×(\frac{1}{3})^{2}+C_{3}^{2}×(\frac{2}{3})^{2}×\frac{1}{3}+C_{3}^{3}×(\frac{1}{2})^{3}× C_{3}^{3}×$
$(\frac{2}{3})^{3}=\frac{7}{24}$.