《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例 2 椭圆 $\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1$ 的焦点在 $y$ 轴上，且 $m∈\{1,2,3,4,5\}$，$n∈\{1,2,3,4,5,6,7\}$，则这样的椭圆的个数为20。

答案： 要使椭圆$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1$的焦点在$y$轴上，需满足$n＞m$。
$m\in\{1,2,3,4,5\}$，$n\in\{1,2,3,4,5,6,7\}$。
当$m = 1$时，$n$可以取$2,3,4,5,6,7$，共$6$种情况；
当$m = 2$时，$n$可以取$3,4,5,6,7$，共$5$种情况；
当$m = 3$时，$n$可以取$4,5,6,7$，共$4$种情况；
当$m = 4$时，$n$可以取$5,6,7$，共$3$种情况；
当$m = 5$时，$n$可以取$6,7$，共$2$种情况。
满足条件的椭圆个数为$6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 20$。
答案为$20$。

例 3 已知集合 $M = \{-3,-2,-1,0,1,2\}$，$P(a,b)$ 表示平面内的点，其中 $a,b∈M$。
(1)$P$ 可表示平面内多少个不同的点？
(2)$P$ 可表示平面内多少个第二象限的点？
(3)$P$ 可表示多少个不在直线 $y = x$ 上的点？

答案：
(1) 36个不同的点。
(2) 6个第二象限的点。
(3) 30个不在直线y=x上的点。

1−1 现有3幅不同的油画,4幅不同的国画,5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有( )
A.5种
B.12种
C.20种
D.60种

答案： B

1−2 如图所示，在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路，则电路不通.今发现A,B之间电路不通，则
焊接点脱落的不同情况有( )

A.9种
B.11种
C.13种
D.15种

答案： 1. 首先分析焊接点脱落的情况：
按脱落焊接点的个数分类讨论。
若脱落$1$个焊接点：
只有$1$，$4$两种情况会导致电路不通（因为$2$或$3$单独脱落，$A$，$B$间还有另一条支路导通）。
若脱落$2$个焊接点：
从$4$个焊接点中选$2$个的组合数$C_{4}^2=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}=\frac{4×3}{2×1}=6$种，其中$(2,3)$脱落时电路导通，所以导致电路不通的情况有$C_{4}^2-1 = 5$种。
若脱落$3$个焊接点：
从$4$个焊接点中选$3$个的组合数$C_{4}^3=\frac{4!}{3!(4 - 3)!}=4$种（$C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}$，这里$n = 4$，$m = 3$），无论哪$3$个脱落，电路都不通。
若脱落$4$个焊接点：
只有$C_{4}^4 = 1$种情况，电路不通。
2. 然后计算总的情况数：
根据分类加法计数原理，总的情况数$N=2 + 5+4 + 1$。
$N=13$种。
所以焊接点脱落的不同情况有$13$种，答案是C。

1−3 如果x,y∈N,且1≤x≤3,x+y＜7,则满足条件的不同的有序自然数对(x,y)有( )
A.4个
B.5个
C.12个
D.15个

答案： 1. 当$x = 1$时：
因为$x + y\lt7$，$x = 1$，$y\in N$，则$y$可以取$0$，$1$，$2$，$3$，$4$，$5$。
根据有序数对$(x,y)$的定义，此时有序数对为$(1,0)$，$(1,1)$，$(1,2)$，$(1,3)$，$(1,4)$，$(1,5)$，共$6$个。
2. 当$x = 2$时：
因为$x + y\lt7$，$x = 2$，$y\in N$，则$y$可以取$0$，$1$，$2$，$3$，$4$。
此时有序数对为$(2,0)$，$(2,1)$，$(2,2)$，$(2,3)$，$(2,4)$，共$5$个。
3. 当$x = 3$时：
因为$x + y\lt7$，$x = 3$，$y\in N$，则$y$可以取$0$，$1$，$2$，$3$。
此时有序数对为$(3,0)$，$(3,1)$，$(3,2)$，$(3,3)$，共$4$个。
4. 计算总数：
根据分类加法计数原理，满足条件的有序自然数对$(x,y)$的个数为$6 + 5+4=15$个。
所以答案是D。

2−1 用数字1,2,3组成允许有重复数字的两位数,其个数为( )
A.9
B.8
C.6
D.5

答案： 解：根据分步乘法计数原理，组成两位数分两步。
第一步，确定十位上的数字，因为可以用$1$，$2$，$3$，所以有$3$种方法。
第二步，确定个位上的数字，同样可以用$1$，$2$，$3$，也有$3$种方法。
根据分步乘法计数原理$N = m× n$（其中$m$为第一步的方法数，$n$为第二步的方法数），则组成允许有重复数字的两位数的个数为$3×3=9$（个）。
所以答案是A。

2−2 从5名医生和4名护士申,选出1名医生和1名护±参加会议，不同的选法种数为( )
A.9
B.10
C.20
D.40

答案： 解：从$5$名医生中选$1$名，有$5$种选法；从$4$名护士中选$1$名，有$4$种选法。
根据分步乘法计数原理：完成一件事需要$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有$m_2$种不同的方法……做第$n$步有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N = m_1× m_2×·s× m_n$种不同的方法。
则选出$1$名医生和$1$名护士参加会议的不同选法种数为$5×4 = 20$（种）。
所以答案是C。