《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例3 在$\left(\sqrt[3]{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{15}$的展开式中：
(1)求常数项.
(2)求含$x^2$的项.
(3)有几个有理项?
(4)有几个整式项?

答案：
(1) 由通项公式$T_{k+1}=(-2)^kC_{15}^kx^{\frac{30-5k}{6}}$，令$\frac{30-5k}{6}=0$，得$k=6$，常数项为$(-2)^6C_{15}^6=64×5005=320320$。
(2) 令$\frac{30-5k}{6}=2$，解得$k=3.6$（非整数），故无含$x^2$的项。
(3) 指数$\frac{30-5k}{6}$为整数时，$k=0,6,12$，共3项。
(4) 指数为非负整数时，$k=0,6$，共2项。
(1) 320320
(2) 无
(3) 3
(4) 2

例4 $\left(x^2-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^5$的二项展开式中，含$x^5$项的二项式系数是10，系数是$\frac{5}{2}$

答案： 例4 10 $\frac{5}{2}$

例5 若$\left(x-\frac{a}{x}\right)^8$的二项展开式中$x^6$的系数是$-16$，则实数$a$的值是(D)

A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$

答案： 例5 D

1-3 化简：$C_3^0p^3 + C_3^1p^2(1 - p)+C_3^2p·(1 - p)^2 + C_3^3(1 - p)^3$.

答案： 1-3 解：逆用二项式定理，
原式$=[p + (1 - p)]^3 = 1^3 = 1$.

2-1 $\left(x^2-\frac{1}{3x}\right)^6$展开式的中间项为$-\frac{20}{27}x^3$

答案： 2-1 $-\frac{20}{27}x^3$ 解析：$\left(x^2 - \frac{1}{3x}\right)^6$的展开
式的中间项为
$T_4 = \mathrm{C}_6^3(x^2)^3·\left(-\frac{1}{3x}\right)^3 = -\frac{20}{27}x^3$.

2-2 $\left(x+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^8$的展开式中的常数项为(B)

A.8
B.28
C.56
D.70

答案： 2-2 B 解析：$\left(x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^8$的展开式的
通项$T_{k + 1} = \mathrm{C}_8^k x^{8 - k}·\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) = \mathrm{C}_8^k x^{8 - \frac{4}{3}k}$.
令$8 - \frac{4}{3}k = 0$，得$k = 6$，
所以$\left(x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^8$的展开式中的常数项为
$\mathrm{C}_8^6 = 28$.

2-3 [北京卷]在$(\sqrt{x}-2)^5$的展开式中，$x^2$的系数为(C)

A.$-5$
B.5
C.$-10$
D.10

答案： 2-3 C 解析：$(\sqrt{x} - 2)^5$展开式的通项
$T_{k + 1} = \mathrm{C}_5^k(\sqrt{x})^{5 - k}(-2)^k = \mathrm{C}_5^k x^{\frac{5 - k}{2}}(-2)^k$，
令$\frac{5 - k}{2} = 2$，所以$k = 1$，
故$x^2$的系数为$\mathrm{C}_5^1(-2)^1 = -10$.

2-4 在$\left(3\sqrt{x}-\frac{2}{3x}\right)^{10}$的展开式中，求：
(1)第4项的二项式系数；
(2)展开式中$x^{-1}$的系数.

答案： 2-4 解：
(1)展开式的第4项的二项式
系数为$\mathrm{C}_{10}^3 = 120$.
(2)$\left(3\sqrt{x} - \frac{2}{3x}\right)^{10}$的展开式的通项是
$T_{k + 1} = \mathrm{C}_{10}^k(3\sqrt{x})^{10 - k}\left(-\frac{2}{3x}\right)^k$
$= 3^{10 - k}\left(-\frac{2}{3}\right)^k\mathrm{C}_{10}^k x^{\frac{10 - 3k}{2}}$.
令$\frac{10 - 3k}{2} = -1$，解得$k = 4$.
所以$x^{-1}$的系数为$3^6×\left(-\frac{2}{3}\right)^4×\mathrm{C}_{10}^4 =$
$30240$.

2-5 已知$\left(x^2-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)^n$展开式中第5项为常数项，则$n =$5

答案： 2-5 5 解析：由题设，$T_{k + 1} = \mathrm{C}_n^k(x^2)^{n - k}·$
$\left(-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)^k = (-3)^k\mathrm{C}_n^k x^{2n - \frac{5k}{2}}$，
由第5项为常数项，即$k = 4$时，$2n -$
$\frac{5k}{2} = 0$，可得$n = 5$.

2-6 $\left(2x-\frac{a}{x}\right)^6$的展开式中常数项为$-160$，则$a$的值为(A)
A.1
B.$-1$
C.2
D.$-2$

答案： 2-6 A 解析：由已知，$\left(2x - \frac{a}{x}\right)^6$展开
式的通项$T_{k + 1} = \mathrm{C}_6^k(2x)^{6 - k}·\left(-\frac{a}{x}\right)^k = \mathrm{C}_6^k·$
$2^{6 - k}·(-a)^k· x^{6 - 2k}$，
由$6 - 2k = 0$，得$k = 3$，
所以常数项为$\mathrm{C}_6^3·2^{6 - 3}·(-a)^3 = -160$，
解得$a = 1$.