《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例4 已知随机变量$X$，$Y$满足$Y = 2X + 3$，$Y$的均值$E(Y)=\frac83$，$X$的分布
列为

则$a$，$b$的值分别为()

A.$a=\frac16$，$b=\frac13$
B.$a=\frac14$，$b=\frac14$
C.$a=\frac13$，$b=\frac16$
D.$a=\frac38$，$b=\frac18$

答案： A

例5 已知小伟的投篮命中率$p = 0.6$，求小伟投篮一次命中的次数$X$的
均值.

答案： 解：由题意知，小伟投篮一次命中的次数$X$的分布列为：
| $X$ | 0 | 1 |
| --- | --- | --- |
| $P$ | 0.4 | 0.6 |
方法1：根据均值定义，$E(X)=0×0.4 + 1×0.6=0.6$。
方法2：因为$X$服从两点分布，所以$E(X)=p=0.6$。
综上，$X$的均值为$0.6$。

2-1 已知随机变量$X$的分布列为

设$Y = 2X + 3$，则$E(Y)$的值为(A)
A.$\frac73$
B.4
C.-1
D.1

答案： 2-1 A 解析：由已知得
$E(X)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=-\frac{1}{3}$
因为Y=2X+3，
所以$E(Y)=2E(X)+3=-\frac{2}{3}+3=\frac{7}{3}。$

2-2 已知随机变量$X$的分布列为

设$Y = aX + 3$，若$E(Y)= -2$，则$a$的值为
-3.

答案： 2-2 -3 解析：由X的分布列得E(X)
$=1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{3}+3×\frac{1}{6}=\frac{5}{3}$
因为Y=aX+3，所以E(Y)=E(aX+3)
$=aE(X)+3=\frac{5}{3}a+3=-2，$
所以$\frac{5}{3}a=-5，$解得a=-3。

2-3 已知随机变量$X$的分布列如下，
且$E(X)=5.9$，则$a$的值为(B)

A.5
B.6
C.7
D.8

答案： 2-3 B 解析：由0.5+0.2+b=1，得b
=0.3，由E(X)=5.9，得4×0.5+0.2a+
9×0.3=5.9，解得a=6。