《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

1 排列与组合的综合
例 11 从$0$，$1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$中任取$3$个偶数和$2$个奇数，组成没有重复数字的五位数。
(1) 求其中大于$50000$且能被$5$整除的个数；
(2) 求其中$3$个偶数从左到右按由小到大排序的个数。

答案：
(1)108；
(2)132

2 - 9 某城市新修建的一条道路上有$11$盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的$4$盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法数为(C)
A.$C_{8}^{4}$
B.$C_{7}^{4}$
C.$C_{6}^{4}$
D.$C_{5}^{4}$

答案： 2-9 C 解析：原来有11盏路灯，熄灭其中的4盏灯，还有7盏是亮着的，先将亮着的7盏灯排成一排，由于两端的灯不能熄灭，则有6个符合条件的空位，在6个空位中，任取4个插入熄灭的4盏灯，故熄灯的方法有$C_6^4$种.

3 - 1 从$5$名女同学和$4$名男同学中选出$4$人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同的安排？
(1) 男、女同学各$2$名；
(2) 男、女同学分别至少有$1$名。

答案： 3-1 解：
(1)男、女同学各2名的选法有$C_5^2C_5^2 = 6 × 10 = 60$种，故男、女同学各2名共有$60A_4^4 = 1440$种安排.
(2)“男、女同学分别至少有1名”包括“一男三女”“二男二女”“三男一女”，
故共有$C_5^1C_5^3 + C_5^2C_5^2 + C_5^3C_5^1 = 40 + 60 + 20 = 120$种选法，故男、女同学分别至少有1名共有$120 × A_4^4 = 2880$种安排.

3 - 2 某单位在春节七天的假期期间要安排值班表，该单位有值班领导$3$人，值班员工$4$人，要求每位值班领导至少值两天班，每位值班员工至少值一天班，每天要安排一位值班领导和一位值班员工一起值班，且一人值多天班时要相邻的安排方案有(D)
A.$249$种
B.$498$种
C.$1052$种
D.$8640$种

答案： 3-2 D 解析：先安排值班领导，选1位值班领导值三天班，则安排3位领导值班共有$C_3^1A_3^3$种方案.
再安排值班员工，若4名员工中有1名员工值四天班，其他员工各值一天班，则有$C_4^1A_4^4$种方案；
若1名员工值两天班，另一名员工值三天班，剩余2名员工各值一天班，则有$C_4^1C_3^1A_4^4$种方案；
若3名员工各值两天班，1名员工值一天班，则有$C_4^1A_4^4$种方案.
故共有$C_3^1A_3^3 · (C_4^1A_4^4 + C_4^1C_3^1A_4^4 + C_4^1 · A_4^4) = 8640$种方案.