《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

14. [2025·福州高二检测]甲、乙、丙三人报考志愿，有$A，B，C$三所高校可供选择，每人限报一所，则恰有两人报考同一所大学的概率为(D)

A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{2}{9}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 14.D 解析：由题意，每人报考一所大
学，不同的选法总数是$3^{3}=27$.
如果每一所大学都有人报考，不同的选
法总数是$A_{3}^{3}=6$，所有人都报考同一所
大学的方法有$3$种，所以恰有两人报考
同一所大学的方法种数为$27 - 6 - 3=$
$18$，所求概率为$\frac{18}{27}=\frac{2}{3}$.

15. 某校迎春晚会由6个节目组成，为考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求，节目甲不排在第一位和最后一位，节目丙、丁必须排在一起，则该校迎春晚会节目演出顺序的编排方案共有(C)

A.112种
B.120种
C.144种
D.180种

答案： 15.C 解析：利用间接法求解.
先将丙、丁捆绑排在一起，再与其他$4$
个节目排列，共有$A_{2}^{2}A_{5}^{5}=240$种编排
方案.
若甲排在第一位或最后一位，且丙、丁
排在一起，此时有$A_{2}^{1}A_{2}^{2}A_{4}^{4}=96$种排
方案.
故符合条件的编排方案有$240 - 96=$
$144$种.

16. [多选题]从$1,2,3,4,5,6$中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中(ACD)

A.偶数有60个
B.比$300$大的奇数有48个
C.个位和百位数字之和为$7$的数有24个
D.能被$3$整除的数有48个

答案： 16.ACD 解析：对于$A$，个位数字为$2$
或$4$或$6$，有$3$种情况，在剩余$5$个数字中
任选$2$个安排在百位和十位，有$A_{5}^{2}=20$
种情况，则有$3×20 = 60$个三位偶数，
A正确；
对于$B$，分$2$种情况讨论，若百位数字
为$3$或$5$，则有$2×2×4 = 16$个三位
奇数，若百位数字为$4$或$6$，则有$2×3×4 = 24$个三位奇数，则符合题意的三
位数有$16 + 24 = 40$个，B错误；
对于$C$，个位和百位数字之和为$7$有$(1,6),(2,5),(3,4)$，共$3$种情况，则符合题
意的三位数有$3A_{2}^{1}A_{4}^{1}=24$个，C正确；
对于$D$，能被$3$整除，则三个数字之
和为$3$的倍数，共有$(1,2,3),(1,2,6),(1,3,5),(1,5,6),(2,3,4),(2,4,6),(3,4,5),(4,5,6)$八种选择，故能被$3$整除
的数有$8A_{3}^{3}=48$个，D正确.

17. [2025·南京高二检测]两对夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为24.

答案： 17.24 解析：分$3$步进行.
①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有
$A_{2}^{2}=2$种排法；
②两个小孩一定要排在一起，有$A_{2}^{2}=2$种排法；
③将两个小孩看作一个整体与两位妈
妈进行全排列，有$A_{3}^{3}=6$种排法.
因此共有$2×2×6 = 24$种排法.

18. 用$0,1,2,3,4$这五个数字组成无重复数字的自然数.
(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
(2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数"，如301，423等都是“凹数"，试求“凹数"的个数.
(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.

答案： 18.解：
(1)所有的三位偶数分两类：
①若个位数字为$0$，则共有$A_{3}^{2}=12$个；
②若个位数字为$2$或$4$，则共有$2×3×3 = 18$个.
所以在组成的三位数中，所有偶数的个
数是$18 + 12 = 30$.
(2)符合题意的“凹数”共分三类：
①若十位数字为$0$，则共有$A_{4}^{2}=12$个；
②若十位数字为$1$，则共有$A_{3}^{2}=6$个；
③若十位数字为$2$，则共有$A_{2}^{2}=2$个.
所以符合题意的“凹数”共有$12 + 6 + 2=$
$20$个.
(3)符合题意的五位数共分三类：
①若两个奇数数字在一、三位置，
则有$A_{2}^{2}× A_{3}^{3}=12$个；
②若两个奇数数字在二、四位置，
则有$A_{2}^{2}×2× A_{2}^{2}=8$个；
③若两个奇数数字在三、五位置，
则有$A_{2}^{2}×2× A_{2}^{2}=8$个.
所以符合题意的五位数共有$12 + 8 + 8=$
$28$个.

19. 三个女生和五个男生排成一排.
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
(3)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
(4)如果男生甲、乙之间能且仅能站两个女生，可有多少种不同的排法？

答案： 19.解：
(1)(捆绑法)因为三个女生必须
排在一起，所以可以先把她们看成一个
整体，这样同五个男生合在一起共有六
个元素，排成一排有$A_{6}^{6}$种不同的排法，
对于其中的每一种排法，三个女生之间
又有$A_{3}^{3}$种不同的排法.因此共有$A_{6}^{6}·A_{3}^{3}=4320$种不同的排法.
(2)(插空法)要保证女生全分开，可先
把五个男生排好，每两个相邻的男生之
间留出一个空位，这样共有四个空
位，加上两边男生外侧的两个位置，共
有六个位置，再把三个女生插入这六个
位置中，只要保证每个位置至多插入一
个女生，就能保证任意两个女生都不相
邻，由于五个男生排成一排有$A_{5}^{5}$种不
同排法，对于其中任意一种排法，从上
述六个位置中选出三个让三个女生插
入都有$A_{6}^{3}$种排法，因此共有$A_{5}^{5}·A_{6}^{3}=14400$种不同的排法.
(3)(方法1 位置分析法)因为只要求
两端不都排女生，所以如果首位排了
男生，那么末位就不再受条件限制了，
这样可有$A_{5}^{1}· A_{7}^{1}$种不同的排法；如果
首位排女生，有$A_{3}^{1}$种排法，那么末位就
只能排男生，这样可有$A_{3}^{1}· A_{1}^{1}· A_{6}^{1}$种
不同的排法，因此共有$A_{5}^{1}· A_{7}^{1}+A_{3}^{1}·A_{1}^{1}· A_{6}^{1}=36000$种不同的排法.
(方法2 间接法)三个女生和五个男生
排成一排共有$A_{8}^{8}$种不同的排法，从中扣
除两端都是女生的排法$A_{3}^{2}· A_{6}^{6}$种，就
得到两端不都是女生的排法种数，因此
共有$A_{8}^{8}-A_{3}^{2}· A_{6}^{6}=36000$种不同的
排法.
(4)男生甲、乙站好有$A_{2}^{2}$种站法，从$3$个
女生中选$2$人站在甲、乙之间有$A_{3}^{2}$种站
法，再把甲、乙及中间两个女生看成一
个整体捆绑在一起，和另外$4$人排成一
队有$A_{5}^{5}$种站法，所以共有$A_{2}^{2}· A_{3}^{2}·A_{5}^{5}=1440$种不同的排法.