《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例5 近年来我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统于$2020$年$7$月$31$日正式开通.北斗三号全球卫星导航系统由$24$颗中圆地球轨道卫星、$3$颗倾斜地球同步轨道卫星以及$3$颗地球静止轨道卫星，共$30$颗卫星组成.
(1)南美地区某城市通过对$1000$辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度$X$近似服从$N\left(\frac{5}{2},\frac{1}{4}\right)$，估计该地区某辆家用汽车定位精确度在$[1,3]$的概率.
(2)①某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约$5$个基地同时独立随机选取$1$颗卫星进行信号分析，选取的$5$颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为$\xi$，求$\xi$的数学期望；
②某基地工作人员从$30$颗卫星中随机选取$4$颗卫星进行信号分析，记$Y$为选取的$4$颗卫星中含倾斜地球同步轨道卫星的数目，求$Y$的分布列和数学期望.

答案：
(1) 由 $X \sim N\left(\frac{5}{2},\frac{1}{4}\right)$，得 $\mu=\frac{5}{2}$，$\sigma=\frac{1}{2}$。
$P(1 \leq X \leq 3)=P(\mu-3\sigma \leq X \leq \mu+\sigma)$，
$\mu-3\sigma=1$，$\mu+\sigma=3$，
则 $P(1 \leq X \leq 3) \approx 0.49865 + 0.34135 = 0.84$。
(2)① 每个基地选中中圆地球轨道卫星的概率 $p=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}$，
$\xi \sim B\left(5,\frac{4}{5}\right)$，
$E(\xi)=np=5 × \frac{4}{5}=4$。
② $Y$ 的可能取值为 $0,1,2,3$。
$P(Y=0)=\frac{C_{27}^{4}}{C_{30}^{4}}=\frac{130}{203}$，
$P(Y=1)=\frac{C_{27}^{3}C_{3}^{1}}{C_{30}^{4}}=\frac{65}{203}$，
$P(Y=2)=\frac{C_{27}^{2}C_{3}^{2}}{C_{30}^{4}}=\frac{39}{1015}$，
$P(Y=3)=\frac{C_{27}^{1}C_{3}^{3}}{C_{30}^{4}}=\frac{1}{1015}$。
$Y$ 的分布列为：
| $Y$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|-------|-------|-------|-------|-------|
| $P$ | $\frac{130}{203}$ | $\frac{65}{203}$ | $\frac{39}{1015}$ | $\frac{1}{1015}$ |
$E(Y)=0 × \frac{130}{203} + 1 × \frac{65}{203} + 2 × \frac{39}{1015} + 3 × \frac{1}{1015}=\frac{2}{5}$。
答案
(1) $0.84$；
(2)① $4$；② 分布列见上，$E(Y)=\frac{2}{5}$。